如何更好地为 3D 画廊打包与球体相切的矩形？

Question

我正在使用 ActionScript 3 和 Flash 10 3D (2.5D) API 创建 3D 球体图库。我找到了一种有效但并不理想的方法。我想看看是否有更好的方法。

我的算法是这样的：

Let n = the number of images
    h = the height of each image
    w = the width of each image

1. 通过假设（错误地）图像的表面积等于我们想要创建的球体的表面积来近似圆的半径。
   计算半径求解r 在 nwh = 4πr2 中。这是需要改进的部分。
2. 计算行之间的角度。
   rowAngle = 2atan(h / 2 / r)。
3. 计算行数。
   rows = Floor(π / rowAngle)。
4. 由于第一步是近似值，因此行数不会完全适合，因此为了演示，请添加填充 rowAngle。
   rowAngle += (π - rowAngle * rows) / rows。

5. 对于行中的每个i：

   1. 计算该行纬度圆的半径。
      latitudeRadius = radius * cos(π / 2 - rowAngle * i。
   2. 计算列之间的角度。
      columnAngle = atan(w / 2 / latitudeRadius) * 2。
   3. 计算列数。
      columns = Floor(2 * π / columnAngle)
   4. 由于第一步是近似值，因此列数不会完全适合，因此为了演示，请向 columnAngle 添加填充。
      columnAngle += (2 * π - columnAngle * column) / column.
   5. 对于列中的每个j，沿Z轴平移-radius，旋转π / 2 + rowAngle * i< /code> 绕 X 轴旋转，columnAngle * j 绕 Y 轴旋转。

要查看其实际效果，单击此处。备用链接 请注意，使用默认设置时，球体中实际的项目数量少了 13。我相信这是我在第一步中的近似值引入的错误。

我无法找出一种方法来确定这样一个球体的确切半径应该是多少。我希望学习一种更好的方法、正确的方法，或者我正在尝试做的事情很难或非常难（在这种情况下，我会对我所拥有的感到满意）。

Answer 1

我会把这个问题分成两个相关的问题。

1. 给定半径，如何将东西打包到球体上？

2. 给定许多事物，如何找到正确的半径？

如果第一个问题解决了，那么第二个问题就很容易解决了。这是伪代码。

lowerRadius = somethingTooSmall

fittedItems = itemsForRadius(lowerRadius)

while fittedItems < wantedItems:
    lowerRadius *= 2
    fittedItems = itemsForRadius(lowerRadius)

upperRadius = 2 * lowerRadius

while threshold < upperRadius - lowerRadius:
    middleRadius = (upperRadius + lowerRadius)/2
    if itemsForRadius(middleRadius) < wantedItems:
        lowerRadius = middleRadius
    else:
        upperRadius = middleRadius

这将找到使用您的打包算法打包所需数量物品的最小半径。如果您希望可以从一个更好的起点开始 - 您当前的估计非常接近。但我不认为解析公式可以做到这一点。

现在让我们转向第一个问题。你有一个非常合理的方法。但它确实有一个严重的错误。错误是您的 columnAngle 不应该针对行的中间进行计算。您需要做的是找出您的物品最接近极点的纬度，并将其用于计算。这就是为什么当您尝试装入 10 件物品时，您会发现包装导致角重叠。

如果你想要更密集的排列，你可以尝试将行压向赤道。这有时会导致连续有更多的空间容纳更多的物品，这样你就可以在更小的范围内获得更多的东西。但从视觉上看，它可能看起来不太好。尝试一下，然后决定您是否喜欢结果。

顺便说一句，我喜欢这个主意。看起来不错。

Answer 2

就正方形而言，这似乎是一个了解半径、正方形边长和嵌入的正方形数量之间关系的近似公式。

在 this 之后，方块数为：

Floor[4 Pi/Integrate[(x^2 + y^2 + r^2)^(-3/2), {x, -a/2, a/2}, {y, -a/2, a/2}]]

或

Floor[(Pi r)/ArcCot[(2 Sqrt[2] r Sqrt[a^2+2 r^2])/a^2]]  

其中

   r = Radius
   a = Square side

如果绘制 r=1，则为a 的函数：

您可以在其中看到 a=2 的情况是 n=6 的边界，意思是立方体：

仍在努力看看它是否可以扩展到通用矩形的情况。

编辑

对于矩形，相应的公式为：

 Floor[4 Pi/Integrate[(x^2 + y^2 + r^2)^(-3/2), {x, -a/2, a/2}, {y, -b/2, b/2}]]

给出：

Floor[(2 Pi r)/(Pi-2 ArcTan[(2 r Sqrt[a^2+b^2+4 r^2])/(a b)])]

其中

   r   = Radius
   a,b = Rectangle sides

假设我们想要一个一侧为另一侧一半的矩形 (b = a/2) 和一个半径为 1 的球体。

因此，数矩形作为 a 的函数得出：

您可能会在其中看到“大”边尺寸为 2 的矩形允许球体中有 10 个矩形，而“大”边尺寸为 4 的矩形仅允许 4 个矩形。