麦克劳林级数的函数逼近

Question

我需要大约 (1-x)^0.25 给定的精度（0.0001 例如）。我正在使用在维基百科上找到的扩展为 (1+x)^0.25。当当前表达式小于精度时，我需要停止近似。

long double s(long double x, long double d) {
    long double w = 1;
    long double n = 1; // nth expression in series
    long double tmp = 1;

    // sum while last expression is greater than accuracy
    while (fabsl(tmp) >= d) {
        tmp *= (1.25 / n - 1) * (-x); // the next expression
        w += tmp; // is added to approximation
        n++; 
    } 

    return w;
}

不介意长双n。 :P 当我不检查当前表达式的值而是计算 1000 个或更多表达式时，这很有效。函数的定义域是<-1;1> s() 可以很好地计算 x 在 <-1;~0.6> 中的近似值。参数越大，计算误差越大。从 0.6 开始就超过了精度。

我不确定问题是否足够清楚，因为我不太懂英语数学。问题是 while 条件出了什么问题以及为什么函数 s() 不能正确近似。

编辑： 问题基本解决了。当 x>0 时，我必须从 1 中减去连续表达式的绝对值。

if (x<0)
   w += tmp;
else
   w -= fabsl(tmp);

之后精度会提高很多（当然，fox x>0）。冗余错误源于长时间的双重不准确。就这样。不管怎样，谢谢你们。

Answer 1

尝试画函数图

abs((1.0+x)alpha - binomial_formula(alpha,x,tolerance))

even in close x range such as [-0.5;0.5] you will get something like:

这意味着您的二项展开式实现不稳定。随着 x 距离零越来越远，级数必须包含越来越多的项以达到给定的精度。但在当前的扩展实现中这样做会导致发生灾难性取消（某些浮点错误累积机制） ）。尝试阅读我给出的有关如何设计数值稳定算法的链接。

顺便说一句，感谢您提出非常有趣的问题！

Answer 2

你的问题是，虽然你的算法的迭代部分很好，但终止并不是你想象的那样。

当计算无限和时，您使用的泰勒级数展开是精确的。但是，您无法评估该无限总和并且正在截断。

我想您假设当 tmp 变得小于您想要的容差时，那么 w 中的误差也小于该容差。

然而，事实并非如此。每次迭代的误差是剩余项的无限和。它是您丢弃的无数项的总和。其中第一个，即终止时的 tmp 值，可能小于您的容忍度，但它们的总和可能大于您的容忍度。

当 (-x) 为负数时，您恰好可以逃脱惩罚，因为 tmp 的交替符号对您有利。当 (-x) 为正数时，当 x 接近零时，您就可以逃脱惩罚。

然而，我不相信有一种简单的方法可以提出一个简单的通用停止标准。你必须能够对你要放弃的条款设定一些界限。现在这变成了一个数学问题而不是一个编程问题。