获取方程的分支点

Question

如果我有一个通用函数，f(z,a)、z 和 a 都是实数，并且函数 f< /code> 对所有 z 都采用实际值，但在某些区间 (z1,z2) 中除外，在该区间内它会变得复杂。如何使用 Mathematica 确定 z1 和 z2（以 a 表示）（或者这是可能的）？有什么限制？

对于测试示例，请考虑函数 f[z_,a_]=Sqrt[(za)(z-2a)]。对于实 z 和 a，它采用实值，但在区间 (a,2a) 中除外，在该区间它变为虚数。如何在 Mathematica 中找到这个区间？

一般来说，我想知道在一般情况下如何从数学上找到它。对于像这样只有两个变量的函数，绘制黎曼曲面的等高线图并观察分支切割可能会很简单。但如果它是多元函数呢？有没有一种可以采取的通用方法？

Answer 1

您所拥有的似乎是由“a”参数化的黎曼曲面。考虑将从参数化黎曼曲面的该分支产生的代数（或解析）关系 g(a,z)=0。在这种情况下，它只是 g^2 - (z - a)*(z - 2*a) == 0。更一般地，它可以使用 Groebnerbasis 获得，如下所示（不能保证在没有一定数量的用户的情况下这将始终有效）干涉）。

grelation = First[GroebnerBasis[g - Sqrt[(z - a)*(z - 2*a)], {x, a, g}]]

Out[472]= 2 a^2 - g^2 - 3 az + z^2

作为参数“a”的函数，分支点的必要条件是“g”的零集不给出 a (单值）函数在这些点的邻域中。这又意味着该关系关于 g 的偏导数消失（这来自多元微积分的隐函数定理）。因此，我们找到了 grlation 及其导数都消失的位置，并求解了作为“a”的函数的“z”。

Solve[Eliminate[{grelation == 0, D[grelation, g] == 0}, g], z]

输出[481]= {{z -> a}，{z→ 2 a}}

丹尼尔·利希特布劳
沃尔夫勒姆研究公司

Answer 2

对于多项式系统（以及其他一些类别），Reduce 可以完成这项工作。

例如，

In[1]:= Reduce[Element[{a, z}, Reals] 
           && !Element[Sqrt[(z - a) (z - 2 a)], Reals], z]
Out[1]= (a < 0 && 2a < z < a) || (a > 0 && a < z < 2a)

这种方法对于我检查的基本函数的其他组合也适用（通常为具有许多分支切割的函数提供非常复杂的解决方案）。

一般来说，为了找到分支切割（而不是您感兴趣的简单分支点类），我不知道有什么好的方法。查找 Mathematica 使用的详细约定的最佳位置是 functions.wolfram 站点。

我记得不久前读过一篇关于这方面的好论文......我会尽力找到它......

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没错！我见过的最简单的分支切割分析方法是使用展开数。 《Artificial》杂志上有一篇论文“推理复杂分析的基本功能”智能与符号计算”。它和类似的论文可以在作者之一的主页上找到：http://www. apmaths.uwo.ca/~djeffrey/offprints.html。

Answer 3

对于一般函数，您无法让 Mathematica 计算它。
即使对于多项式，找到确切的答案也需要时间。
我相信 Mathematica 在使用 Reduce 时使用了某种量词消除，
这需要时间。

对你的函数没有任何限制（它们是多项式、连续的、平滑的吗？）
人们可以轻松构造 Mathematica 无法进一步简化的函数：
f[x_,y_] := Abs[Zeta[y+0.5+x*I]]*I

如果此函数对于任意 x 和任意 -0.5 < y < 0或0＜y＜0.5，
那么你就会找到黎曼zeta猜想的反例，
我确信 Mathematica 无法给出正确的答案。