从球坐标旋转体

Question

是否可以旋转其顶点在球坐标中定义的物体。 目前我正在使用 VHDL 进行拼贴项目，涉及旋转十二面体并通过 VGA 进行呈现。

我应用了针孔相机模型方程，并且每个顶点只需要两次正弦/余弦计算和两次乘法。 我只是想在两个角度上使用 3 个步骤绕第三轴旋转，但我无法找出正确的方程，即使这是可能的。

编辑

我想我明白了。

一旦计算出相机坐标，在与相机方向相同的第三轴上旋转只是相机坐标的二维变换。这意味着比在 3 个轴上旋转（可以是两个轴和一个倾角）您需要应用总共 4 次正弦/余弦计算和 4 次乘法。如果有人想出了更好的办法，可以随意发表答案。

Answer 1

通过改变 θ 可以绕 y 轴旋转，通过改变 φ 可以绕 z 轴旋转。不过，绕 x 轴旋转有点困难。

一种简单的方法是将所有内容转换为笛卡尔坐标，执行旋转，然后转换回来。

(x,y,z)（球面到笛卡尔）的方程

x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ

为 将 (x,y,z) 绕 x 轴旋转一个角度到新点 (x', y', z') 的方程α 是

x' = x
   = r sin θ cos φ
y' = y cos α - z sin α
   = (r sin θ sin φ) cos α - (r cos θ) sin α
z' = y sin α + z cos α
   = (r sin θ sin φ) sin α + (r cos θ) cos α

(r, θ, φ) （笛卡尔到球面）的方程是

r' = sqrt(x'2 + y'2 + z'2)
   = r
θ' = cos-1(z'/r')
   = cos-1(sin θ sin φ sin α + cos θ cos α)
φ' = tan-1(y'/x')
   = tan-1(tan φ cos α - cotan θ sin α sec φ)

我不知道是否有办法进一步减少它，但它应该有效。

Answer 2

希望这对将来的人有帮助，但是上面的答案有一个小错误。应该是：

φ' = tan-1(y'/x')
   = tan-1(tan φ cos α - cotan θ sin α sec φ)

我没有代表点在评论中发布此内容，但认为它会很有用。