计算 3d 中线段之间的垂直距离和角距离

Question

我正在致力于用 C++ 实现聚类算法。具体来说，这个算法： http://www.cs.uiuc.edu/~ hanj/pdf/sigmod07_jglee.pdf

在算法中的某一点（第 3.2 p4-5 节），我要计算两条线段之间的垂直距离和角度距离（d┴ 和 dθ）：p1 到 p2，p1 到p3。

我已经有一段时间没有上数学课了，我对这些实际上的概念以及如何计算它们有点动摇。有人可以帮忙吗？

Answer 1

要获取点 Q 到由两点 P_1 和 P_2 定义的直线的垂直距离，请计算：

d = DOT(Q, CROSS(P_1, P_2) )/MAG(P_2 - P_1)

其中 DOT 是点积，CROSS 是向量叉积，MAG 是幅度 (sqrt(X*X+Y*Y+..)< /code>)

使用图 5。您计算 d_1 从 sj 到直线 (si->ei) 的距离以及 d_2 从 ej 到同一直线的距离。

我将基于三个点建立一个坐标系，其中两个（P_1、P_2）表示一条线，第三个Q表示起点或终点其他线段的末端。坐标系的三个轴可以这样定义：

e = UNIT(P_2 - P_1)      // axis along the line from P_1 to P_2
k = UNIT( CROSS(e, Q) )  // axis normal to plane defined by  P_1, P_2, Q
n = UNIT( CROSS(k, e) )  // axis normal to line towards Q

其中UNIT() 是返回单位向量（幅度=1）的函数。

然后，您可以使用简单的点积确定所有投影长度。因此，考虑图 5 中的线 si-ei 和点 sj，长度为：

(l || 1) = DOT(e, sj-si);
(l |_ 1) = DOT(n, sj-si);
ps = si + e * (l || 1)      //projected point

并且在第二段 ej 的末尾，需要计算新的坐标轴(e,k,n)

(l || 2) = DOT(e, ei-ej);
(l |_ 1) = DOT(n, ej-ei);
pe = ei - e * (l || 1)      //projected point

最终角度距离为

(d th)  = ATAN( ((l |_ 2)-(L |_ 1))/MAG(pe-ps) )

PS。您可能想将其发布在 Math.SO 上，在那里您可以获得更好的答案。

Answer 2

看第 3 页的图 5。它画出了 d┴ 和 dθ 是什么。

编辑：“莱默平均值”是使用 Lp-space 约定定义的。因此，在 3 维中，您将使用 p = 3。假设两个起点之间的（欧几里德）距离为 d1，两端之间的距离为 d2。然后d┴(L1, L2) = (d1^3 + d2^3) / (d1^2 + d2^2)。

要查找两个向量之间的角度，您可以使用它们的点积。范数（表示为 ||x||）的计算 像这样。