同一平面内具有相同原点的两个 3D 向量之间的符号角

Question

我需要的是位于同一 3D 平面内且具有相同原点的两个向量 Va 和 Vb 之间的有符号旋转角，知道：

1. 包含这两个向量的平面是任意的，并且不平行于 XY 或任何其他基本平面
2. Vn - 是平面法线
3. 两个向量与法线具有相同的原点 O = { 0, 0, 0 }
4. Va - 是测量 Vn 处左手旋转的参考 角度

应以这种方式测量，因此如果平面是 XY 平面，Va 代表它的 X 轴单位向量。

我想我应该通过使用 Va 作为 X 轴和 Vb 和 Vn 的叉积作为 Y 轴来执行一种坐标空间变换，然后只使用一些 2d 方法，例如 atan2() 或其他方法。有什么想法吗？公式？

Answer 1

令 theta 为向量之间的角度。令 C = Va 叉积 Vb。然后

sin theta = 长度(C) / (长度(Va) *
长度(Vb))

要确定 theta 是正值还是负值，请记住 C 垂直于 Va 和 Vb，指向由 右手定则。特别是，C 与 Vn 平行。在您的情况下，如果 C 指向与 Vn 相同的方向，则 theta 为负，因为您想要左手旋转。快速检查 Vn 和 C 是否指向同一方向的最简单计算方法可能就是取它们的点积；如果为正，则它们指向同一方向。

所有这些都源自叉积的基本属性。

Answer 2

假设Vx是x轴，给定法线Vn，通过叉积可以得到y轴，可以将向量Vb投影到Vx和Vy（通过点积可以得到Vb投影到Vy上的长度） Vx 和 Vy)，给定平面上的 (x, y) 坐标，可以使用 atan2(y, x) 获取 [-pi, +pi] 范围内的角度

Answer 3

这是 Matlab 代码，用于计算 2D 或 3D 中两个向量 u,v 之间的符号角。该代码是不言自明的。符号约定是在 ix 和 iy ([1,0,0],[0,1,0]) 或 iy 和 iz ([0,1,0],[0, 0,1])

function thetaDEG = angDist2Vecs(u,v)

if length(u)==3
    %3D, can use cross to resolve sign
    uMod = sqrt(sum(u.^2));
    vMod = sqrt(sum(v.^2));
    uvPr = sum(u.*v);
    costheta = min(uvPr/uMod/vMod,1);

    thetaDEG = acos(costheta)*180/pi;

    %resolve sign
    cp=(cross(u,v));
    idxM=find(abs(cp)==max(abs(cp)));
    s=sign(cp(idxM(1)));
    if s < 0
        thetaDEG = -thetaDEG;
    end
elseif length(u)==2
    %2D use atan2
    thetaDEG = (atan2(v(2),v(1))-atan2(u(2),u(1)))*180/pi;
else
    error('u,v must be 2D or 3D vectors');
end

Answer 4

我目前使用的解决方案似乎在这里缺失。
假设平面法线已归一化 (|Vn| == 1)，则带符号的角度很简单：

对于从 Va 到 Vb 的右手旋转：

atan2((Va x Vb) . Vn, Va . Vb)

对于从 Va 到 Vb 的左手旋转：

atan2((Vb x Va) . Vn, Va . Vb)

返回范围内的角度[-PI, +PI] （或任何可用的 atan2 实现返回的内容）。

. 和 x 分别是点积和叉积。

不需要显式分支，也不需要除法/向量长度计算。

解释其原理：设 alpha 为向量之间的直角（0° 到 180°），beta 为我们要查找的角度（0° 到 360°），其中 beta == alpha 或beta == 360° - alpha

Va . Vb == |Va| * |Vb| * cos(alpha)    (by definition) 
        == |Va| * |Vb| * cos(beta)     (cos(alpha) == cos(-alpha) == cos(360° - alpha)


Va x Vb == |Va| * |Vb| * sin(alpha) * n1  
    (by definition; n1 is a unit vector perpendicular to Va and Vb with 
     orientation matching the right-hand rule)

Therefore (again assuming Vn is normalized):
   n1 . Vn == 1 when beta < 180
   n1 . Vn == -1 when beta > 180

==>  (Va x Vb) . Vn == |Va| * |Vb| * sin(beta)

最后

tan(beta) = sin(beta) / cos(beta) == ((Va x Vb) . Vn) / (Va . Vb)

Answer 5

使用两个向量的叉积来获得两个向量形成的平面的法线。然后检查其与原始平面法线之间的点积，看看它们是否面向同一方向。

angle = acos(dotProduct(Va.normalize(), Vb.normalize()));
cross = crossProduct(Va, Vb);
if (dotProduct(Vn, cross) < 0) { // Or > 0
  angle = -angle;
}

Answer 6

您可以分两步完成此操作：

1. 确定两个向量之间的角度

   theta = acos（Va、Vb 的点积）。假设 Va、Vb 已归一化。这将给出两个向量之间的最小角度

2. 确定角度的符号

   求向量 V3 = Va、Vb 的叉积。 （顺序很重要）

   如果（V3、Vn 的点积）为负，则 theta 为负。否则，theta 为正。

Answer 7

您可以使用点积获得角度向上签名。要获取角度的符号，请取 Vn * (Va x Vb) 的符号。在 XY 平面的特殊情况下，这会简化为 Va_x*Vb_y - Va_y*Vb_x。

Answer 8

高级客户提供了以下解决方案（最初是对问题的编辑）：

SOLUTION:

sina = |Va x Vb| / ( |Va| * |Vb| )
cosa = (Va . Vb) / ( |Va| * |Vb| )

angle = atan2( sina, cosa )

sign = Vn . ( Va x Vb )
if(sign<0)
{
    angle=-angle
}

Answer 9

将一个向量与另一个向量交叉并标准化以获得单位向量。

两个向量之间角度的正弦等于叉积的大小除以两个向量的大小：

http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html

Answer 10

对于使用 Python 的用户，Adrian Leonhard 提供的解决方案现已在 scikit-spatial 库（最新版本即将推出）。查找 Vector 的 angle_signed_3d

下面是两个例子：

>>> import numpy as np
>>> from skspatial.objects import Vector
>>> np.degrees(Vector([1, 0, 0]).angle_signed_3d([0, -1, 0], direction_positive=[0, 0, 2]))
-90.0

>>> np.degrees(Vector([1, 0, 0]).angle_signed_3d([0, -1, 0], direction_positive=[0, 0, -5]))
90.0