证明流的相等性

Question

我有玫瑰树的数据类型

data N a = N a [N a]

和应用实例

instance Applicative N where
 pure a = N a (repeat (pure a))
 (N f xs) <*> (N a ys) = N (f a) (zipWith (<*>) xs ys)

，需要证明它的应用定律。然而，pure创造了无限深、无限分支的树。因此，例如，在证明同态定律时，

pure f <*> pure a = pure (f a)

我认为

zipWith (<*>) (repeat (pure f)) (repeat (pure a)) = repeat (pure (f a))

通过近似（或取）引理来证明等式是可行的。然而，我的尝试导致归纳步骤中的“恶性循环”。特别是，减少

approx (n + 1) (zipWith (<*>) (repeat (pure f)) (repeat (pure a))

给出

(pure f <*> pure a) : approx n (repeat (pure (f a)))

其中 approx 是近似函数。 如何在没有明确的共归纳证明的情况下证明等式？

Answer 1

我会使用展开的通用属性（因为重复和适当的非柯里化的 zipWith 都是展开的）。 我的博客上有相关讨论。但您可能也喜欢 Ralf Hinze 关于独特固定点的论文 ICFP2008< /a>（以及随后的 JFP 论文）。

（只是检查一下：你所有的玫瑰树都是无限宽和无限深？我猜否则法律不会成立。）

Answer 2

以下是我认为有效并保持在程序语法和等式推理层面的一些内容的草图。

基本直觉是，一般来说，推理 repeat x 比推理流（更糟糕的是列表）要容易得多。

uncons (repeat x) = (x, repeat x)

zipWithAp xss yss = 
    let (x,xs) = uncons xss
        (y,ys) = uncons yss
    in (x <*> y) : zipWithAp xs ys

-- provide arguments to zipWithAp
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = 
    let (x',xs) = uncons (repeat x)
        (y',ys) = uncons (repeat y)
    in (x' <*> y') : zipWithAp xs ys

-- substitute definition of uncons...
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = 
    let (x,repeat x) = uncons (repeat x)
        (y,repeat y) = uncons (repeat y)
    in (x <*> y) : zipWithAp (repeat x) (repeat y)

-- remove now extraneous let clause
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = (x <*> y) : zipWithAp (repeat x) (repeat y)

-- unfold identity by one step
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = (x <*> y) : (x <*> y) : zipWithAp (repeat x) (repeat y)

-- (co-)inductive step
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = repeat (x <*> y)

Answer 3

为什么需要共感应？只是感应。

pure f <*> pure a = pure (f a)

也可以写成（你需要证明左右相等），

N f [(pure f)] <*> N a [(pure a)] = N (f a) [(pure (f a))]

它允许你一次删除一项。这给了你你的感应。