偏序 - 有限集 - 最小元素
通过归纳法证明。非空有限集合上的每个偏序至少有一个最小元素。
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评论（2）
如果偏序集中只有一个元素，那么这显然是正确的。现在假设对于所有大小 < 的集合都成立。名词将第 n 个元素与我们知道存在的 (n-1) 偏序集的最小元素进行比较。它要么是新的最低限度，要么不是，要么是无与伦比的。无论如何都没关系。 （为什么？）
It is trivially true if there is only one element in the poset. Now suppose it is true for all sets of size < n. Compare the nth element to the minimal element of the (n-1) poset, which we know to exist. It will either be the new minimal or not or incomparable. It doesn't matter either way. (Why?)
如果偏序的大小为 1，这是显而易见的。
假设偏序 成立，然后取大小为
n的偏序(P,<)。在
P中选择x。令P(如果
P( 为空，则 x是一个最小元素。否则，
P( 严格小于 P，因为x不在P(。所以偏序集 (P(必须有一个最小元素
y。此
y必须是P的最小元素，因为如果z 在 P中，则z，因此 z将在P( 中并且小于 y，这与假设相矛盾y在P( 中是最小的。 If the partial order has size 1, it is obvious.
Assume it is true for partial orders
<n, and then take a partial order(P,<)has sizen.Pick
xinP. LetP(<x) = { y in P : y<x }If
P(<x)is empty, thenxis a minimal element.Otherwise,
P(<x)is strictly smaller thanP, sincexis not inP(<x). So the poset(P(<x),<)must have a minimal element,
y.This
ymust be a minimal element ofPsince, ifz<yinP, thenz<x, and hencezwould be inP(<x)and smaller thany, which contradicts the assumption thatywas minimal inP(<x).