矢量的 3D ZYX 旋转

Question

我试图通过创建从世界到新旋转的旋转矩阵来在 3 维中旋转向量。我首先使用右手符号绕 Z 轴旋转，然后绕 Y 轴，最后绕 X 轴旋转。

我使用的矩阵可以在维基百科上找到（http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles< /a>）。它位于变换矩阵列表中页面中间稍下方的位置。我用的是ZYX：

我现在创建它，Z 轴旋转 +45 度，Y 轴旋转 +45 度，并且没有X 轴旋转。这给出了以下矩阵：

[  0.5   -0.707 0.5   ]
[  0.5    0.707 0.5   ]
[ -0.707  0.0   0.707 ]

现在我将其乘以以下向量：

[ 10 ]
[  0 ]
[  0 ]

可以看出，它是沿 x 轴的 10 个单位长的向量。我预计旋转结果在 x、y 和 z 场中约为 6（z 为负），因为这给出了大约长度为 10 的向量。即，该向量首先在世界 x 和 y 轴之间精确旋转（第一次 z 旋转），然后从那里向下倾斜 45 度，最终恰好位于 xy 平面和负 z 轴之间（第二次 y 旋转）。在我看来，这意味着三个等长的单位向量代表这个向量。

然而，我的矩阵类和所有其他程序都给了我这个向量作为结果：

[  5    ]
[  5    ]
[ -7.07 ]

它看起来是正确的，因为它的长度是预期的 10。那么问题来了，我哪里错了？我确信我在明显的地方犯了一些愚蠢的思想错误，因为它肯定没有三个同样长的手臂：p

Answer 1

ZYX 欧拉角旋转矩阵定义为

R_ZYX(dz, dy, dx) = R(Z, dz) * R(Y, dy) * R(X, dx)

有两种不同的方式读取旋转顺序：从左到右或从右到左。当从左到右读取时，旋转是围绕坐标系的局部轴进行的，正如您正确执行的那样。仅当从从右到左读取时，旋转才会围绕固定坐标系进行。

现在为了回答这个问题，如果您希望旋转矢量的所有坐标都具有相同的绝对值，让我们计算您应该旋转的角度dy。

令r 为v 的长度，令a 为绝对坐标值。根据毕索哥拉斯的说法，a^2 + a^2 + a^2 = r^2，因此 a = r / sqrt(3)。旋转矢量相对于 XY 平面的角度为 dy = asin(a / r) = asin(1 / sqrt(3))，约为 35.3 度。该角度与您当前使用的 45 度（或以弧度表示的 asin(1 / sqrt(2))）不同。

测试（使用 Python 和 gameobjects 库）：

from gameobjects import *
from math import *
import random

V = vector3.Vector3
T = matrix44.Matrix44

def R_x(dx): return T.x_rotation(dx)
def R_y(dy): return T.y_rotation(dy)
def R_z(dz): return T.z_rotation(dz)

def fmt(v): return "(%.3f, %.3f, %.3f)" % (v[0], v[1], v[2])

dx = 0
dy = asin(1 / sqrt(3.0))
dz = pi / 4

v = V(10, 0, 0)

print "ZYX Euler angle transformations:"
print fmt((R_z(dz) * R_y(dy) * R_x(dx)).transform(v))
dy = pi / 4
print fmt((R_z(dz) * R_y(dy) * R_x(dx)).transform(v))

输出：

ZYX Euler angle transformations:
(5.774, 5.774, -5.774)
(5.000, 5.000, -7.071)

dz = dy = pi / 4 表明该程序与您的欧拉角实现一致。

Answer 2

请记住，第二次旋转是相对于轴，而不是向量。在 XY 平面中旋转后，想象整个平面绕 Y 轴扭转 45 度。这与垂直向上扭转旋转矢量（即绕 X=-Y 旋转）直到与 XY 平面成 45 度不同。很难解释，但我希望有所帮助:-)

（编辑：使轴正确旋转）