如何从距离矩阵计算原始向量？

Question

我有一个关于向量和矩阵的小问题。

假设向量 V = {v1, v2, ..., vn}。我生成一个 n×n 距离矩阵 M 定义为：

M_ij = | v_i - v_j |使得 i,j 属于 [1, n]。

也就是说，方阵中的每个元素M_ij是V中两个元素的绝对距离。

例如，我有一个向量V = {1,3,3,5}，距离矩阵将是 米=[ 0 2 2 4； 2 0 0 2； 2 0 0 2； 4 2 2 0; ]

看起来很简单。现在到了问题所在。给定这样一个矩阵M，如何获得初始V？

谢谢。

根据这个问题的一些答案，似乎答案并不唯一。因此，现在假设所有初始向量已归一化为 0 均值和 1 方差。问题是：给定这样一个对称距离矩阵M，如何确定初始归一化向量？

Answer 1

你不能。为了让您了解原因，请考虑以下两种情况：

V1 = {1,2,3}

M1 = [ 0 1 2 ; 1 0 1 ; 2 1 0]

V2 = {3,4,5}

M2 = [ 0 1 2 ; 1 0 1 ; 2 1 0]

如您所见，单个 M 可能是多个 V 的结果。因此，您无法向后映射。

Answer 2

没有办法唯一地确定答案，因为距离矩阵对于向所有元素添加一个常数以及将所有值乘以 -1 是不变的。但是，假设元素 1 等于 0，并且第一个非零元素为正，您可以找到答案。这是伪代码：

# Assume v[1] is 0
v[1] = 0
# e is value of first non-zero vector element
e = 0
# ei is index of first non-zero vector element
ei = 0
for i = 2...n:
  # if all vector elements have been 0 so far
  if e == 0:
    # get the current distance from element 1 and its index
    # this new element may still be 0
    e = d[1,i]
    ei = i
    v[i] = e
  elseif d[1,i] == d[ei,i] + v[ei]: # v[i] <= v[1]
    # v[i] is to the left of v[1] (assuming v[ei] > v[1])
    v[i] = -d[1,i]
  else:
    # some other case; v[i] is to the right of v[1]
    v[i] = d[1,i]

Answer 3

我认为不可能找到原始向量，但您可以通过获取矩阵的第一行来找到向量的翻译。

如果让 M_ij = | v_i - v_j |然后将所有 v_k 翻译为 k\in [1,n] 你会得到
M_ij = | vi + 1 - v_j + 1 |
= | v_i - v_j |

因此，只需将第一行作为向量并找到一个初始点将向量平移到其中。

更正：

Let v_1 = 0, and let l_k = | v_k | for k\in [2,n] and p_k the parity of v_k

Let p_1 = 1

for(int i = 2; i < n; i++)
   if( | l_i - l_(i+1) | != M_i(i+1) )
      p_(i+1) = - p_i
   else
      p_(i+1) = p_i

按顺序对 k\in [2,n] 中的所有 v_k 执行此操作将显示每个 v_k 相对于其他 v_k 的奇偶性

然后您可以找到具有相同或相反方向更新的原始向量的平移

（对于标准化向量）：

  Let d = Sqrt(v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2)

  Vector = {0, v_1 / d, v_2 / d, ... , v_n / d}
            or
           {0, -v_1 / d, -v_2 / d, ... , -v_n / d}