如何缩放圆环并保持管半径不变？

Question

如果我有一个像这样定义的环面。

u,v are in the interval [0, 2π),
R is the distance from the center of the tube to the center of the torus,
r is the radius of the tube. 

我想放大R并保持r不变，如何使用变换矩阵来做到这一点，或者可能吗？

Answer 1

您正在寻找的变换不是线性的，因此它不能用矩阵表示。

为了说明它不是线性的，想象一下以原点为中心的圆环与 xy 平面平行。正 x 轴与环面相交于两点；我们将离原点较近的称为a，将较远的称为b。

应用转换后，我们预计 a 和 b 都远离原点相同的量。但由于 b 是 a 的倍数，这是不可能的：

b = c*a
f(b) - b = f(c*a) - c*a
         = c*f(a) - c*a
         = c*( f(a) - a )

与 a 和 b 相关的相同倍数也是如此涉及 a 与 b 相比移动了多远。

即使将圆环投影到平面上，也会遇到同样的问题。