如何在D中进行高精度计算？

Question

对于一些大学工作，我必须近似一些数字 - 例如带有级数的欧拉数字。因此我必须添加非常小的数字，但我在精度方面存在问题。如果数量很小，则不会影响结果。

real s;  //sum of all previous terms
ulong k; //factorial

s += 1.0/ k;

每一步之后，k 都会变得更小，但是在第 10 轮之后，结果不再改变并停留在 2.71828

Answer 1

固定精度浮点类型，即 CPU 浮点单元本身支持的类型（float、double、real）对于任何情况都不是最佳选择。需要多位精度的计算，例如您给出的示例。

问题在于，这些浮点类型的精度位数（实际上是二进制数字）有限，这限制了此类数据类型可以表示的数字长度。 float 类型的限制为大约 7 位十进制数字（例如 3.141593）； double 类型限制为 14（例如 3.1415926535898）；而real类型也有类似的限制（比double略多）。

因此，将极小的数字添加到浮点值将导致这些数字丢失。观察将以下两个浮点值相加时会发生什么：

float a = 1.234567f, b = 0.0000000001234567
float c = a + b;

writefln("a = %f b = %f c = %f", a, b, c);

a 和 b 都是有效的浮点值，并且各自保留大约 7 位精度。但添加后，仅保留最前面的 7 位数字，因为它被推回浮点数：

1.2345670001234567 => 1.234567|0001234567 => 1.234567
                              ^^^^^^^^^^^
                         sent to the bit bucket

因此 c 最终等于 a，因为加法的精度更高a 和 b 被击落。

这是这个概念的另一种解释，可能比我的好得多。

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这个问题的答案是任意精度算术。不幸的是，CPU 硬件不支持任意精度算术；因此，它（通常）不是您的编程语言。但是，有许多库支持任意精度浮点类型以及您想要对其执行的数学运算。请参阅此问题获取一些建议。今天您可能找不到任何用于此目的的 D 特定库，但有大量 C 库（GMP、MPFR 等）应该很容易单独使用，如果您能找到，则更是如此其中之一的 D 绑定。

Answer 2

如果您需要一个使用本机类型运行的解决方案，您应该能够通过尝试始终添加相似大小的数字来获得合理的结果。一种方法是计算级数的前 X 项，然后用总和重复替换两个最小的数字：（

auto data = real[N];
foreach(i, ref v; data) {
  v = Fn(i);
}

while(data.length > 1) {
  data.sort(); // IIRC .sort is deprecated but I forget what replaced it.
  data[1] += data[0];
  data = data[1..$];
}

return data[0];

最小堆会使速度更快一些。）

Answer 3

正如已经提到的，你需要使用一些第三方多精度浮点运算库（我认为Tango或Phobos只有一个用于任意长度整数运算的模块）。

dil 是一个使用 MPFR 的 D 项目。您应该在那里找到绑定。