寻找三阶 ODE 和直线之间的交点？

Question

如何找到三阶 ODE 的解与直线 y=x 之间的交点？

我的 ODE 代码是

sol=dsolve('D3y-4*D2y+Dy+2*y=0,y(0)=-4,Dy(0)=-6,D2y(0)=-4')
x=0:2
y=subs(sol,'t',x)
plot(x,y)

Answer 1

要查找交点的数值：

创建一个匿名函数，该函数在您的解与您要查找的线之间的交点处为零：

sol = dsolve('D3y-4*D2y+Dy+2*y=0,y(0)=-4,Dy(0)=-6,D2y(0)=-4');
my_func = @(x) subs(sol,'t',x) - x; % Your solution - x is equal to zero at the %intersections

然后，如果您想以图形方式查找值：

plot(-5:.01:5,my_func(-5:.01:5))

或通过优化例程以数字方式查找：

x = fzero(my_func,0); % I find x = -.6847

它将查找函数的零接近 0。它不会找到所有零，因此您需要在您期望交集的值附近启动 fzero 函数。

希望这会有所帮助，

安德鲁

编辑：二分法的操作方法。

一旦我们有了匿名一维函数“my_func”，如果您不想使用优化方法来求解方程，但碰巧知道一个范围 [range_{min} range_{max}]，其中 my_func = 0 那么如果您使用的是连续函数，以下算法将为您找到函数的零：

range_min = 0; % say our range is [0 2]
range_max = 2;

error_tolerance = .0001; % will find the answer to within .0001

while (range_max - range_min < error_tolerance)
range_temp = (range_max + range_min)/2;
if ((my_func(range_temp) <0 & my_func(range_max)>0) | (my_func(range_temp) >0 & my_func(range_max)<0))
range_min = range_temp;

else if ((my_func(range_min)<0 & my_func(range_temp)>0) | (my_func(range_min)>0 & my_func(range_temp)<0))
    range_max = range_temp;

else if (my_func(range_temp == 0)
range_min = range_temp;
range_max = range_temp;

    end

end

t_intersection = (range_min + range_max)/2;

所以一些解释：如果函数是连续的，并且您的函数是连续的，那么如果它在 t_intersection 处与 y=t 相交，则在我们修改后的函数处my_func(t) = sol(t)-t 在 t_intersection 处为零。由于 my_func 是连续的，因此只要我们知道函数的两个值，一个大于零，一个小于零，我们就可以找到函数的零。

因此，我们从这些已知点开始，定义一个范围 [range_min range_max]，其中 my_func(range_min)<0 和 my_func(range_max)>0 或反之亦然。然后我们通过创建中点 range_temp =mean(range_min 和 _max) 将这个范围减半。现在，我们创建一个新范围 [range_temp range_max] 或 [range_min range_temp]，以便在该范围内保留 my_func 的符号变化。我们重复这个过程，直到达到满意的精度。

但需要注意的是，这只会在您提供的初始范围内找到一个零。这是大多数零查找方法的根本挫败之处，更普遍的是，零查找可以被视为优化领域的特殊情况。

• 如果您需要有关二分法的更多信息：http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method
• 如果您需要更多关于零查找方法的信息，我会在大学图书馆查找一本有关数值分析的书。
• 如果您需要有关 Matlab 中匿名函数的更多信息（我使用的“= @(t)”），请查看此处：http://www.mathworks.com/help/techdoc/matlab_prog/f4-70115.html

我认为这涵盖了它，祝你好运。

——安德鲁