如何有效地解交织位（逆莫顿）

Question

这个问题：如何去交错位（UnMortonizing？）有一个很好的答案提取莫顿数的两半之一（仅奇数位）的答案，但我需要一个解决方案，以尽可能少的操作提取两个部分（奇数位和偶数位）。

对于我的使用，我需要采用 32 位 int 并提取两个 16 位 int，其中一个是偶数位，另一个是右移 1 位的奇数位，例如，

input,  z: 11101101 01010111 11011011 01101110

output, x: 11100001 10110111 // odd bits shifted right by 1
        y: 10111111 11011010 // even bits

似乎有很多使用移位和掩码的解决方案使用幻数生成莫顿数（即交织位），例如 按二进制幻数交织位，但我还没有找到任何可以做相反的事情（即去交错）。

更新

在重新阅读 Hacker's Delight 关于完美洗牌/非洗牌的部分后，我发现了一些有用的示例，我对其进行了如下修改：

// morton1 - extract even bits

uint32_t morton1(uint32_t x)
{
    x = x & 0x55555555;
    x = (x | (x >> 1)) & 0x33333333;
    x = (x | (x >> 2)) & 0x0F0F0F0F;
    x = (x | (x >> 4)) & 0x00FF00FF;
    x = (x | (x >> 8)) & 0x0000FFFF;
    return x;
}

// morton2 - extract odd and even bits

void morton2(uint32_t *x, uint32_t *y, uint32_t z)
{
    *x = morton1(z);
    *y = morton1(z >> 1);
}

我认为这仍然可以改进，无论是在当前的标量形式还是在通过利用 SIMD，所以我仍然对更好的解决方案感兴趣（标量或 SIMD）。

Answer 1

如果您的处理器有效地处理 64 位整数，您可以组合操作......

int64 w = (z &0xAAAAAAAA)<<31 | (z &0x55555555 )
w = (w | (w >> 1)) & 0x3333333333333333;
w = (w | (w >> 2)) & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F; 
...

Answer 2

Intel Haswell 及更高版本 CPU 的代码。您可以使用包含 pext 和 pdep 指令的 BMI2 指令集。这些（以及其他伟大的东西）可以用来构建您的函数。

#include <immintrin.h>
#include <stdint.h>

// on GCC, compile with option -mbmi2, requires Haswell or better.

uint64_t xy_to_morton (uint32_t x, uint32_t y)
{
    return _pdep_u32(x, 0x55555555) | _pdep_u32(y,0xaaaaaaaa);
}

uint64_t morton_to_xy (uint64_t m, uint32_t *x, uint32_t *y)
{
    *x = _pext_u64(m, 0x5555555555555555);
    *y = _pext_u64(m, 0xaaaaaaaaaaaaaaaa);
}

Answer 3

如果有人在 3d 中使用 morton 代码，那么他需要每 3 个读取一位，这里的 64 位是我使用的函数：

uint64_t morton3(uint64_t x) {
    x = x & 0x9249249249249249;
    x = (x | (x >> 2))  & 0x30c30c30c30c30c3;
    x = (x | (x >> 4))  & 0xf00f00f00f00f00f;
    x = (x | (x >> 8))  & 0x00ff0000ff0000ff;
    x = (x | (x >> 16)) & 0xffff00000000ffff;
    x = (x | (x >> 32)) & 0x00000000ffffffff;
    return x;
}
uint64_t bits; 
uint64_t x = morton3(bits)
uint64_t y = morton3(bits>>1)
uint64_t z = morton3(bits>>2)

Answer 4

您可以通过相乘来提取 8 个交错位，如下所示：

uint8_t deinterleave_even(uint16_t x) {
    return ((x & 0x5555) * 0xC00030000C0003 & 0x0600180060008001) * 0x0101010101010101 >> 56;
}
uint8_t deinterleave_odd(uint16_t x) {
    return ((x & 0xAAAA) * 0xC00030000C0003 & 0x03000C003000C000) * 0x0101010101010101 >> 56;
}

将它们合并为 32 位或更大应该很简单。

Answer 5

如果您需要速度，则可以使用表查找一次进行一字节转换（两字节表速度更快，但太大）。程序是在 Delphi IDE 下编写的，但汇编器/算法是相同的。

const
  MortonTableLookup : array[byte] of byte = ($00, $01, $10, $11, $12, ... ;

procedure DeinterleaveBits(Input: cardinal);
//In: eax
//Out: dx = EvenBits; ax = OddBits;
asm
  movzx   ecx, al                                     //Use 0th byte
  mov     dl, byte ptr[MortonTableLookup + ecx]
//
  shr     eax, 8
  movzx   ecx, ah                                     //Use 2th byte
  mov     dh, byte ptr[MortonTableLookup + ecx]
//
  shl     edx, 16
  movzx   ecx, al                                     //Use 1th byte
  mov     dl, byte ptr[MortonTableLookup + ecx]
//
  shr     eax, 8
  movzx   ecx, ah                                     //Use 3th byte
  mov     dh, byte ptr[MortonTableLookup + ecx]
//
  mov     ecx, edx  
  and     ecx, $F0F0F0F0
  mov     eax, ecx
  rol     eax, 12
  or      eax, ecx

  rol     edx, 4
  and     edx, $F0F0F0F0
  mov     ecx, edx
  rol     ecx, 12
  or      edx, ecx
end;

Answer 6

我不想局限于固定大小的整数并使用硬编码常量制作类似命令的列表，因此我开发了一个 C++11 解决方案，它利用模板元编程来生成函数和常量。使用 -O3 生成的汇编代码似乎在不使用 BMI 的情况下尽可能紧凑：

andl    $0x55555555, %eax
movl    %eax, %ecx
shrl    %ecx
orl     %eax, %ecx
andl    $0x33333333, %ecx
movl    %ecx, %eax
shrl    $2, %eax
orl     %ecx, %eax
andl    $0xF0F0F0F, %eax
movl    %eax, %ecx
shrl    $4, %ecx
orl     %eax, %ecx
movzbl  %cl, %esi
shrl    $8, %ecx
andl    $0xFF00, %ecx
orl     %ecx, %esi

TL;DR 源代码库 和现场演示。

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实现

基本上，morton1 函数中的每个步骤都是通过移位和添加到一系列常量来实现的，如下所示：

1. 0b0101010101010101（交替 1 和 0）
2. 0b00110011001100110b0011001100110011 code> （交替 2x 1 和 0）
3. 0b0000111100001111 （交替 4x 1 和 0）
4. 0b0000000011111111 （交替 8x 1 和 0）

如果我们要使用 D 维度，我们将得到一个包含 D-1 0 和 1 1 的模式。因此，要生成这些，生成连续的并应用一些按位“或”就足够了：

/// @brief Generates 0b1...1 with @tparam n ones
template <class T, unsigned n>
using n_ones = std::integral_constant<T, (~static_cast<T>(0) >> (sizeof(T) * 8 - n))>;

/// @brief Performs `@tparam input | (@tparam input << @tparam width` @tparam repeat times.
template <class T, T input, unsigned width, unsigned repeat>
struct lshift_add :
    public lshift_add<T, lshift_add<T, input, width, 1>::value, width, repeat - 1> {
};
/// @brief Specialization for 1 repetition, just does the shift-and-add operation.
template <class T, T input, unsigned width>
struct lshift_add<T, input, width, 1> : public std::integral_constant<T,
    (input & n_ones<T, width>::value) | (input << (width < sizeof(T) * 8 ? width : 0))> {
};

现在我们可以在编译时通过以下方式生成任意维度的常量：

template <class T, unsigned step, unsigned dimensions = 2u>
using mask = lshift_add<T, n_ones<T, 1 << step>::value, dimensions * (1 << step), sizeof(T) * 8 / (2 << step)>;

使用相同类型的递归，我们可以为每个步骤生成函数算法 x = (x | (x >> K)) & M：

template <class T, unsigned step, unsigned dimensions>
struct deinterleave {
    static T work(T input) {
        input = deinterleave<T, step - 1, dimensions>::work(input);
        return (input | (input >> ((dimensions - 1) * (1 << (step - 1))))) & mask<T, step, dimensions>::value;
    }
};
// Omitted specialization for step 0, where there is just a bitwise and

仍然需要回答“我们需要多少步？”这个问题。这还取决于维数。一般来说，k 步计算 2^k - 1 输出位；每个维度的最大有意义位数由 z = sizeof(T) * 8/dimensions 给出，因此采取 1 + log_2 z 步就足够了。现在的问题是我们需要将其作为 constexpr 以便将其用作模板参数。我发现解决此问题的最佳方法是通过元编程定义 log2：

template <unsigned arg>
struct log2 : public std::integral_constant<unsigned, log2<(arg >> 1)>::value + 1> {};
template <>
struct log2<1u> : public std::integral_constant<unsigned, 0u> {};

/// @brief Helper constexpr which returns the number of steps needed to fully interleave a type @tparam T.
template <class T, unsigned dimensions>
using num_steps = std::integral_constant<unsigned, log2<sizeof(T) * 8 / dimensions>::value + 1>;

最后，我们可以执行一次调用：

/// @brief Helper function which combines @see deinterleave and @see num_steps into a single call.
template <class T, unsigned dimensions>
T deinterleave_first(T n) {
    return deinterleave<T, num_steps<T, dimensions>::value - 1, dimensions>::work(n);
}