透视圆形形状的实用方法？

Question

不完全确定这是否应该属于 Stack Overflow，但这里是。

我正在使用 HTML5 对象创建 3D 井字游戏的简单版本。第一个玩家使用十字符号，而第二个玩家使用圆形符号。关键是我不知道如何透视圆形。

目前，我使用的方法是创建一个具有尽可能多角度（但在一定程度上）的正多边形，通过在这些点之间绘制直线来伪造一个圆。我使用正弦/余弦计算了这些点（角度）的坐标。

使用 6 个角度：

使用 50 个角度（看起来足够像一个圆）：

这效果很好，但需要相当多的点才能很好地伪造一个圆。而且，如果我创造一个球，我就会遇到更多麻烦。例如，维基百科上的图片显示，即使有很多点，它仍然会有一个相当“块状”的表面：http://en.wikipedia.org/wiki/File:Sphere_wireframe.svg

我想知道是否有任何方法可以更有效地透视圆，也许没有点，以便能够以更实用的方式创建逼真的圆形形状。

预先感谢您的任何建议。

Answer 1

圆的多边形近似是实用的方法。计算坐标并对它们应用透视变换非常简单。您可能应该坚持该解决方案。

也就是说，如果您热衷于数学，那么您正在考虑的兔子洞非常酷。事实证明，所有二次曲面（包括球体和椭圆形）都可以用 4x4 矩阵表示。不仅如此，一旦转换为 4x4，您就可以应用所有标准 4x4 变换矩阵（不仅仅是乘法）。 IIRC 你甚至可以对它们应用透视变换，结果仍然是二次曲面。现在，这对您处理 3D 世界中的 2D 形状并没有多大帮助。但是，由于圆是圆柱体和平面的交集，并且两者都可以变换，因此应该有一个解决方案来解决您的问题。

这里是描述二次曲面的表示和变换的链接

正如您所展示的，圆形在地面上的透视投影通常是屏幕空间中的旋转椭圆。我没有变换方法，但我确实相信存在一种变换方法，并且比您现在所拥有的更复杂。

Answer 2

从透视角度看，圆形是椭圆形。 这里有一个解释。

Answer 3

我花了几个小时，但最终开发出了所有方程和 SVG 代码演示：
http://jsfiddle.net/6b8oLhz0/9/
我使用 http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html 来计算中心，半径和轴的旋转（仅给出其方程）。
代码中最有趣的部分可能是这样的：

function ellipseBy3DCircle(circle){
  var r=circle.radius;
  var n=circle.normal;
  var c=circle.center;
  //Let (u,v) be a point of the Ellipse.
  //Which point of the circle it represents?
  //This 3-D point must have a form of (u*z,v*z,z) for some z,
  //bacause it lays on a ray from observer (0,0,0) through (u,v,1) on the screen.
  //A circle is an intersection of a plane with a sphere.
  //So we have two conditions for our point :
  //1) it has to belong to the plane given by the center and normal of the circle:
  //(u*z-c.x)*n.x+  (v*z-c.y)*n.y + (z-c.z)*n.z = 0
  //2) it has to belong to the sphere given by the center and radius
  //(u*z-c.x)^2  +  (v*z-c.y)^2   + (z-c.z)^2   = 0
  //The first equation alows us to express z in terms of u,v and constants:
  //z =   (c.x*n.x+c.y*n.y+c.z*n.z) / (u*n.x+v*n.y+n.z) 
  //      ^^^^^^^^^^^^ s ^^^^^^^^^    ^^^^  t(u,v) ^^^^
  var s=c.x*n.x+c.y*n.y+c.z*n.z;
  //t(u,v)=u*n.x+v*n.y+n.z
  //The second equation gives us:
  //zz(uu+vv+1)-2z(u*c.x+v*c.y+z*c.z)+c.x^2+c.y^2+c.z^2-r^2 = 0
  //                                  ^^^^^^^^ H  ^^^^^^^^^
  var H=c.x*c.x+c.y*c.y+c.z*c.z-r*r;
  //Recall however, that z has u and v in denominator which makes it hard to solve/simplify.
  //But z=s/t(u,v), so let us multiply both sides by t(u,v)^2 :
  //ss*(uu+vv+1)-2*s*t(u,v)*(u*c.x+v*c.y+c.z)+t(u,v)^2*H=0
  //ss*uu+ss*vv+ss-2*s*(u*n.x+v*n.y+n.z)*(u*c.x+v*c.y+c.z)+(u*n.x+v*n.y+n.z)*(u*n.x+v*n.y+n.z)*H=0 
  //By regrouping terms so as to match the ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2fy+g = 0 formula, we get:
  var A=s*s+H*n.x*n.x-2*s*n.x*c.x;
  var B=H*n.x*n.y-s*n.x*c.y-s*n.y*c.x;
  var C=s*s+H*n.y*n.y-2*s*n.y*c.y;
  var D=H*n.x*n.z-s*n.x*c.z-s*n.z*c.x;
  var F=H*n.y*n.z-s*n.y*c.z-s*n.z*c.y;
  var G=s*s+H*n.z*n.z-2*s*n.z*c.z;

  return ellipseByEquation(A,B,C,D,F,G);
}