如何判断堆中第k大元素是否大于x

Question

考虑一个包含 n 的二叉堆 数字（根存储最大的数字）。你被赋予了一个 正整数 k < n 和数字 x。你必须确定是否 堆中第 k 大的元素是否大于 x。你的 算法必须花费 O(k) 时间。您可以使用 O(k) 额外存储空间

Answer 1

public class KSmallest2 {

private MinPQ<Integer> minHeap;
private int x;
private int k;
private int count = 0;

public KSmallest2(String filename, int x, int k) {
    this.x = x;
    this.k = k;
    minHeap = new MinPQ<>();
    try {
        Scanner in = new Scanner(new File(filename));
        while (in.hasNext()) {
            minHeap.insert(in.nextInt());
        }
    } catch (FileNotFoundException e) {
        e.printStackTrace();
    }
}

public boolean check(int index) {

    if (index > minHeap.size()) {
        return false;
    }

    if (minHeap.getByIndex(index) < x) {
        count++;
        if (count >= k) {
            return true;
        }

        return  check(2 * index) ||
                check(2 * index + 1);
    }

    return false;
}



public static void main(String[] args) {
    KSmallest2 ks = new KSmallest2("src/main/resources/minheap.txt", 18, 5);
    System.out.println(ks.minHeap);

    System.out.println(ks.check(1));
}

}

Answer 2

简单的 dfs 就可以完成这项工作。我们有一个计数器设置为零。从根开始，每次迭代检查当前节点的值；如果大于x，则增加计数器并继续对子节点之一进行算法。如果 counter 大于等于 k ​​或者没有剩余节点可供检查，则算法终止。运行时间为 O(k)，因为最多迭代 k 个节点，并且每次迭代的时间复杂度为 O(1)。

伪代码如下所示。

    void CheckNode(Node node,int k, int x, ref int counter)
    {
        if (node.value > x)
        {
            counter++;
            if (counter >= k)
                return;

            CheckNode(node.Left, k, x, ref counter);
            CheckNode(node.Right,k, x, ref counter);
        }
    }

使用它：

        counter = 0;
        CheckNode(root,index,val,counter );
        if (counter >= index)
            return true;
        return false;

如果node.value < x 则所有子值都小于 x，无需检查。

正如 @Eric Mickelsen 在评论中提到的，最坏情况运行时间恰好是 2k-1 (k>0)，如下所示。

访问的值大于x的节点的数量最多为
k.每个访问过的值小于 x 的节点都必须是 a 的子节点
访问过的节点的值大于 x。然而，由于每个节点
访问过，但根必须有一个值大于 x 的父级，
访问的值小于 x 的节点数量最多为
((k-1)*2)-(k-1) = k-1，因为 (k-1)*2 个子级中的 k-1 个具有值
大于x。这意味着我们访问大于 x 的 k 个节点，并且
k-1 小于 x，即 2k-1。