Numpy.eig 和 PCA 中的方差百分比

Question

从我们离开的地方继续...

所以我可以使用 linalg.eig 或 linalg .svd 来计算 PCA。当输入相同的数据时，每个数据集都会返回不同的主成分/特征向量和特征值（我目前正在使用 Iris 数据集）。

查看此处或任何其他将 PCA 应用于Iris 数据集，我会发现特征值为 [2.9108 0.9212 0.1474 0.0206]。 eig 方法为我提供了一组不同的特征值/向量，我不介意使用它们，除了这些特征值一旦求和就等于维数 (4)，并且可用于找出每个分量对总方差的贡献程度。

获取由 linalg.eig 返回的特征值我无法做到这一点。例如，返回的值为 [9206.53059607 314.10307292 12.03601935 3.53031167]。在这种情况下，方差比例将为[0.96542969 0.03293797 0.00126214 0.0003702]。 此其他页面说（“由组件解释的变异比例只是它的特征值除以特征值之和。”）

由于每个维度解释的方差应该是常数（我认为），所以这些比例是错误的。因此，如果我使用 svd() 返回的值（所有教程中使用的值），我可以获得每个维度的正确变化百分比，但我想知道为什么返回值by eig 不能这样使用。

我假设返回的结果仍然是投影变量的有效方法，那么有没有办法对其进行转换，以便我可以获得每个变量解释的正确方差比例？换句话说，我可以使用 eig 方法并且仍然获得每个变量的方差比例吗？此外，这种映射是否只能在特征值中完成，以便我可以同时拥有真实特征值和归一化特征值？

顺便说一句，抱歉写得太长了。这是一个 (::) 来说明到目前为止。假设您不只是读过这一行。

Answer 1

采用 Doug 对上一个问题的回答并实现以下两个函数，我得到如下所示的输出：

def pca_eig(orig_data):
    data = array(orig_data)
    data = (data - data.mean(axis=0)) / data.std(axis=0)
    C = corrcoef(data, rowvar=0)
    w, v = linalg.eig(C)
    print "Using numpy.linalg.eig"
    print w
    print v

def pca_svd(orig_data):
    data = array(orig_data)
    data = (data - data.mean(axis=0)) / data.std(axis=0)
    C = corrcoef(data, rowvar=0)
    u, s, v = linalg.svd(C)
    print "Using numpy.linalg.svd"
    print u
    print s
    print v

输出：

Using numpy.linalg.eig
[ 2.91081808  0.92122093  0.14735328  0.02060771]
[[ 0.52237162 -0.37231836 -0.72101681  0.26199559]
 [-0.26335492 -0.92555649  0.24203288 -0.12413481]
 [ 0.58125401 -0.02109478  0.14089226 -0.80115427]
 [ 0.56561105 -0.06541577  0.6338014   0.52354627]]

Using numpy.linalg.svd
[[-0.52237162 -0.37231836  0.72101681  0.26199559]
 [ 0.26335492 -0.92555649 -0.24203288 -0.12413481]
 [-0.58125401 -0.02109478 -0.14089226 -0.80115427]
 [-0.56561105 -0.06541577 -0.6338014   0.52354627]]
[ 2.91081808  0.92122093  0.14735328  0.02060771]
[[-0.52237162  0.26335492 -0.58125401 -0.56561105]
 [-0.37231836 -0.92555649 -0.02109478 -0.06541577]
 [ 0.72101681 -0.24203288 -0.14089226 -0.6338014 ]
 [ 0.26199559 -0.12413481 -0.80115427  0.52354627]]

在这两种情况下，我都得到了所需的特征值。

Answer 2

您确定两种情况的数据相同并且尺寸顺序正确（您没有发送旋转数组吗？）？我敢打赌，如果您正确使用它们，您会发现它们都会给出相同的结果；）

Answer 3

我知道有三种方法可以进行 PCA：从相关矩阵、协方差矩阵的特征值分解中导出，或者在未缩放和未中心化的数据上导出。听起来您正在传递 linalg.eig 正在处理未缩放的数据。无论如何，这只是一个猜测。解决您的问题的更好位置是 stats.stackexchange.com。 math.stackexchange.com 上的人们不使用实际数字。 :)

Answer 4

我建议对 PCA 使用 SVD（奇异值分解），因为
1）它直接为您提供所需的值和矩阵
2）它很坚固。
请参阅 SO 上的 principal-component-analysis-in-python 示例（令人惊讶) 虹膜数据。
运行它可以

read iris.csv: (150, 4)
Center -= A.mean: [ 5.84  3.05  3.76  1.2 ]
Center /= A.std: [ 0.83  0.43  1.76  0.76]

SVD: A (150, 4) -> U (150, 4)  x  d diagonal  x  Vt (4, 4)
d^2: 437 138 22.1 3.09
% variance: [  72.77   95.8    99.48  100.  ]
PC 0 weights: [ 0.52 -0.26  0.58  0.57]
PC 1 weights: [-0.37 -0.93 -0.02 -0.07]

看到 SVD 的对角矩阵 d 的平方，
给出 PC 0、PC 1 的总方差的比例...

这有帮助吗？