通过三点的贝塞尔曲线

Question

我已经阅读了类似的主题以找到解决方案，但没有成功。 我想做的是使该工具与 CorelDraw 中的工具相同，名为“钢笔工具”。我通过连接贝塞尔三次曲线来做到这一点，但仍然缺少一个功能，即拖动曲线（而不是控制点）以编辑其形状。

我可以成功确定曲线上应开始拖动的“t”参数，但不知道如何重新计算该曲线的控制点。

在这里，我想强调一些与 CorelDraw 的 PenTool 行为相关的内容，这些行为可用作约束。我注意到，当严格垂直或水平拖动曲线时，该贝塞尔曲线的控制点会相应地表现，即它们分别在垂直或水平方向上移动。

那么，如何在曲线拖动时重新计算控制点的位置呢？

Answer 1

我刚刚查看了 Inkspace 源代码并找到了这样的代码，可能对您有帮助：

// Magic Bezier Drag Equations follow!
// "weight" describes how the influence of the drag should be distributed
// among the handles; 0 = front handle only, 1 = back handle only.
double weight, t = _t;
if (t <= 1.0 / 6.0) weight = 0;
else if (t <= 0.5) weight = (pow((6 * t - 1) / 2.0, 3)) / 2;
else if (t <= 5.0 / 6.0) weight = (1 - pow((6 * (1-t) - 1) / 2.0, 3)) / 2 + 0.5;
else weight = 1;

Geom::Point delta = new_pos - position();
Geom::Point offset0 = ((1-weight)/(3*t*(1-t)*(1-t))) * delta;
Geom::Point offset1 = (weight/(3*t*t*(1-t))) * delta;

first->front()->move(first->front()->position() + offset0);
second->back()->move(second->back()->position() + offset1);

在您的情况下，“first->front()”和“second->back()”意味着两个控制点

Answer 2

贝塞尔曲线只不过是两个多项式：X(t), Y(t)。

三次：

x = ax*t^3 + bx*t^2 + cx*t + dx
                               0 <= t <= 1
y = ay*t^3 + by*t^2 + cy*t + dy

所以如果你有一条曲线 - 你就有了多项系数。如果您移动点并且知道它的 t 参数 - 那么您可以简单地重新计算多边形的系数 - 它将是一个由 6 个系数线性方程组成的系统（对于每个点）。该系统被细分为两个系统（x 和 y），并且可以精确求解或使用一些数值方法 - 它们也不难。

因此，您现在的任务是在知道曲线的显式方程后计算曲线的控制点。

也可以带入线性系统。我不知道如何处理广义贝塞尔曲线，但对于三次或二次曲线来说并不难。

通过控制点的三次曲线：

B(t) = (1-t)^3*P0 + 3(1-t)^2*t*P1 + 3(1-t)*t^2*P2 + t^3*P3

您所要做的就是生成标准多项式形式（只需打开括号）并使系数相等。这将提供最终的控制点系统！

Answer 3

当您点击曲线时，您已经知道当前控制点的位置。因此，您可以计算从该点到鼠标位置的偏移 X 和偏移 Y。如果鼠标移动，您将能够借助 X/Y 偏移重新计算新的控制点。

对不起我的英语