判断n个整数数组中是否存在A+B=C

Question

这是我的一个朋友收到的作业（算法和数据结构课）的问题。他问我这件事。然而，我无法解决这个问题，这几天我一直在思考这个问题。

[0, 2³¹-1] 范围内有 n 个随机整数（可能有重复。判断这些数字中是否有 3 个数字满足 A + B = C。

我首先想到了一个简单的算法，即 O(n²log < em>n）。 然后我想出了一个 O(n²) 的算法。这是伪代码：

sort(a); // non-descending
for (i = 0; i < n; i++) {
  j = i; k = i + 1;
  while (j < n && k < n) {
    if (a[i] + a[j] == a[k])
      return true;
    else if (a[i] + a[k] < a[j])
      k++;
    else
      j++;
  }
}
return false;

但是，问题表明 1 << n <= 10⁶。我认为 O(n²) 太慢了。我的解决方案没有利用随机性。但是，我不确定这是否是问题的重要部分。

Answer 1

一般问题是3SUM-Hard以及是否存在的问题比二次算法更好的算法已经开放。

因此，如果您需要更快的算法，您可能需要利用它们是 32 位的事实。

Answer 2

如果数字是随机的，任何最坏情况的 O(n^2) 算法（包括您的算法）都会运行得非常快。事实上，实际复杂度将为O(n*logn)（排序的复杂度）。
这很像快速排序，平均 O(n*logn) 且达到 O(n^2) 的机会很小。

10^6 随机数为我们提供 ~ 10^6*10^6 在 ~ 0..10^9 范围内的“几乎随机”总和。这些 10^12 随机和之一等于整数范围内的给定随机值的可能性有多大？相当不错。
现在，这些 10^12 随机总和之一等于10^6给定随机值之一的机会有多大？ 100%，诗意地说。

我已经实现了您提出的解决方案，对于 n = 10^6 ，它在最内层循环中平均执行 5000-10000 操作。 O(n^2) 就这么多了。排序是其中成本最高的操作。

附言。如果您更新解决方案以使用散列而不是排序，则可以进一步降低复杂性，甚至使其O(1)。

PS 2.java测试程序，供参考。运行它并亲自看看。

    int n = 1000000;
    int[] a = new int[n];

    // generate random array
    Random r = new Random();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        do {
            a[i] = r.nextInt();
        } while (a[i] < 0);
    }

    Arrays.sort(a);

    // number of operations inside main loop
    int ops = 0;

    // main logic, pretty much as OP described it
    boolean found = false;
    for (int i = 0; i < n && !found; ++i) {
        int j = i;
        int k = i + 1;
        while (k < n) {
            ++ops;

            if (a[i] > a[k] - a[j]) {
                ++k;
            } else if (a[i] < a[k] - a[j]) {
                ++j;
            } else {
                System.out.println(a[i] + " + " + a[j] + " = " + a[k]);
                found = true;
                break;
            }
        }
    }

    System.out.println(ops);

Answer 3

使用哈希的算法在 Python 中需要 10-900 微秒（平均值：200 中位数：60）：

#!/usr/bin/env python
import random

L = frozenset(random.sample(xrange(2**31), 10**6))
print next(((a,b,a+b) for a in L for b in L if (a + b) in L), None)

它是 O(N**2) 但看起来它足够快。

为了进行比较，创建 frozenset 的分摊 O(N) 操作需要 270 毫秒（比这慢 1000 倍）搜索）并创建随机列表需要 0.9 秒。

注意：如果输入序列包含唯一元素，random.sample 不会返回重复元素，因此 frozenset 不会丢弃上例中的任何元素。为了解决允许重复元素的随机序列的问题，我们应该使用两种数据结构：

#!/usr/bin/env python
import random

L = [random.randrange(2**31) for _ in xrange(10**6)]
S = frozenset(L)
print len(L), len(S)
print next(((a, b, a+b) for a in L for b in L if (a + b) in S), None)

输出

1000000 999762
(2055933464, 83277289, 2139210753)

Answer 4

在对排序列表进行测量时，我得到了 O(n log n)：

from bisect import bisect_right
import cProfile as prof
import random

def find3sum(T):
    if len(T) < 3:
        return None
    n = len(T)
    top = T[-1]
    for i in range(len(T)-1):
        b = top - T[i]
        if b < T[i]:
            return None
        k = bisect_right(T, b, i, n-1)
        while k > i:
            c = T[i] + T[k]
            j = bisect_right(T, c, k, n-1)
            if j <= k:
                break
            elif T[j] == c:
               return (i, k, j)
            else:
               k -= 1

def test_one(a):
    a = sorted(a)
    r = find3sum(a)
    i, k , j = r
    assert a[i] + a[k] == a[j]

def test():
    n = 100000
    max = 200000
    random.seed(0)
    for _ in range(100):
        a = [random.randint(0,max) for _x in xrange(n)]
        test_one(a)
        a = range(n)
        test_one(a)

prof.run('test()')

这些是结果（大约对每个元素的 bisect 进行一次调用）：

   ncalls  tottime  percall  cumtime  percall filename:lineno(function)
        1    0.002    0.002  183.764  183.764 <string>:1(<module>)
      200    0.005    0.000   89.996    0.450 find2sum.py:25(test_one)
        1   17.269   17.269  183.762  183.762 find2sum.py:31(test)
      200   35.096    0.175   79.601    0.398 find2sum.py:5(find3sum)
 10000000   44.958    0.000   52.398    0.000 random.py:160(randrange)
 10000000   23.891    0.000   76.289    0.000 random.py:224(randint)
        1    0.000    0.000    0.000    0.000 random.py:99(seed)
 19599982   44.077    0.000   44.077    0.000 {_bisect.bisect_right}
        1    0.000    0.000    0.000    0.000 {function seed at 0x9a1972c}
      600    0.001    0.000    0.001    0.000 {len}
        1    0.000    0.000    0.000    0.000 {method 'disable' of '_lsprof.Profiler' objects}
 10000000    7.440    0.000    7.440    0.000 {method 'random' of '_random.Random' objects}
      301    0.635    0.002    0.635    0.002 {range}
      200   10.390    0.052   10.390    0.052 {sorted}

有几种优化可以大大减少运行时间（例如跳过等于数字的运行）到已经测试过的那个）。

Answer 5

A+B=C，因此
B=CA 或 A=CB

上述问题可以通过使用哈希表以 O(n) 复杂度完成。

var C; // the sum you are looking for
for(each element)
    X = C - element
    boolean exists = lookup for X in hash table
    if (exists) combination A+B=C exists in the given input
    else hashtable.put(element)

希望有帮助。