检查 E 的近似值

Question

MathWorld page 给出了 e 的简单数字公式，据称该公式对于第一个是正确的10^25 位数字。它指出 e 大约是

(1 + 9^-4^(7*6))^3^2^85

知道如何检查这个公式对于前 10 位数字是否正确吗？ 这是右侧的另一种写法

Power[Plus[1, Power[9, Times[-1, Power[4, Times[7, 6]]]]], Power[3, Power[2, 85]]]

Answer 1

重复获取日志是解决此类问题的一个很好的（通常）普遍适用的解决方案。这是解决此问题的更特殊情况的方法：回想一下 e = lim(n->无穷大, (1+1/n)^n)。因此，为了很好地近似 e，我们需要的只是 9^(4^(42))（小数部分的分母）足够接近 3^(2^85) 并且很大。

在这种情况下，它们是相同的，因此我们有 n=3^(2^85)，并且它将是 e 的非常近似值。这些数字很大，但并非不可行：

>>> from mpmath import *
>>> iv.dps = 50 # let's use interval arithmetic, just for fun
>>> x = mpi(9)**(-(4**(42)))
>>> up = (mpi(3)**(2**85))
>>> x
mpi('1.4846305545498656772753385085652043615636250118238876e-18457734525360901453873570', 
'1.4846305545498656772753385085652043615636250118238899e-18457734525360901453873570')
>>> 1/x
mpi('6.7356824695231749871315222528985858700759934154677854e+18457734525360901453873569', 
'6.7356824695231749871315222528985858700759934154678156e+18457734525360901453873569')
>>> up
mpi('6.7356824695231749871315222528985858700759934154678005e+18457734525360901453873569', 
'6.7356824695231749871315222528985858700759934154678156e+18457734525360901453873569')
>>> 0 in (1/x-up)
True

计算出 e 上的精确误差范围留给读者作为练习；-) -- 提示：将 mathworld 页面声称的准确度位数与上述数字进行比较，并且问问为什么会这样，想想一系列近似值 (1+1/1)^1、(1+1/2)^2 等。

Answer 2

这个问题根本不需要Mathematica。首先，很容易证明 9^(4^(7*6)) 完全等于 3^2^85，因为

 9^(4^(7*6)) = 3^(2*4^(7*6)) = 3^(2^(1+2*(7*6))) = 3^2^85

然后，我们知道表示e的方法是作为极限

e = lim (1+1/n)^n, n->infinity

唯一的问题是，考虑到n非常大但有限，误差是什么。给

(1+1/n)^n = e^log((1+1/n)^n) = e^(n*log(1+1/n)) = e^(1-1/(2n)+O(1/n^2)) = e + O(1/n),

定 n = 3^2^85，我们取 log(10,n) = 2^85 log(10,3) ~ 1.85 *10^25代码>，我们得到一个估计
与引用的类似