C/C++: 浮点数算术题

Question

如果一个浮点数反复乘以一个小于一的数，浮点数是否有可能变为零？

这是一个示例：

float number = 1.0f;

for ( int i = 0; i < ONE_BILLION; ++i )
{
    number *= 0.01f;
}

但请不要将您的答案限制在示例中。

谢谢！

Answer 1

是的，当乘法的结果小于最接近零的可表示数时，它就会变成零。对于 IEEE 浮点，任何小于或等于 0.5f（但大于零）的乘数都会发生这种情况；但是，如果乘数稍大于 0.5f（例如，0.5f + FLT_EPSILON），结果将收敛到最小的可表示正数并永远保持该值。比较使用和不使用 -DGREATER 时该程序的行为：

#include <stdio.h>
#include <float.h>
#ifdef GREATER
#define MULTIPLIER (0.5f + FLT_EPSILON)
#else
#define MULTIPLIER 0.5f
#endif
int
main(void)
{
  float x = 1.0f;
  unsigned int count = 0;
  while (x > 0.0f && count < 200)
  {
    x *= MULTIPLIER;
    printf("%g %a\n", x, x);
    count++;
  }
  return 0;
}

Answer 2

取决于实施。使用典型的 IEEE 754 实现，您将首先陷入非规格化（失去精度），然后捕捉到 0。但其他一些实现可能会给您带来浮点下溢错误、爆炸崩溃。

干杯&呵呵，

Answer 3

它取决于相乘值和当前舍入模式。考虑这个例子：

FLT_MIN * 0.99 == FLT_MIN 

编辑： @Pascal：在我的计算机上，这个用 GCC 编译的简单示例：

int main(){
    float f = 1.0f;
    while (f){
        printf("%g\n", f);
        f *= 0.99f;
    };
    return 0;
}

收敛到 6.93643e-044，而不是零。

我的观点是，如果中间计算的精度高于最终结果（最常见的例子是 x87 80 位内部 FP 寄存器），并且最终结果被截断为 float，那么你肯定会得零分。但如果计算是在浮点数上执行的，那么你根本无法保证它们会收敛到零。 这里是一些不错的读物。

对于一般情况，最好的（而且更快）的解决方案是将循环转换为带有对数的简单表达式：

#include <math.h>
#define COUNT 1000
#define COEFF 0.9f

int main(){
    float f = 1.0f;
    float f2 = exp(log(f) + COUNT * log(COEFF));
    int i;
    for (i = 0; i < COUNT; i++)
        f *= COEFF;
    printf("results for %d iters with %f: LOOP: %g and LOG: %g\n", COUNT, COEFF, f, f2);
    return 0;
};

这将输出：

results for 1000 iters with 0.900000: LOOP: 5.04467e-045 and LOG: 0

Answer 4

是的。最终你会得到一个小于最小可表示正浮点数的数字，该数字将下溢到零。

Answer 5

我感到惊讶的是，很少有人指出一个简单的事实，即当您低于/高于最小/最大可表示（绝对）非零/非无限值时，您将得到下溢/上溢异常，这将停止执行。这是因为，一个非零数（例如）乘以另一个非零数可能会变成零，就像简单地通过尺度中的某个点就可能变成无穷大一样，这在数学上是不正确的。

当然，您可以屏蔽 FP 控制字中的异常，并接受您的程序在数学上的行为不正确，并最终传递一个零，您可以将其插入除法并得到另一个异常。

在我看来，控制 FP 处理要好得多。我遇到过一些组织，他们将整数数学留给 fp 以“简化编程”，但最终得到的处理背景只是他们模糊地理解，以及所谓的“奇怪”结果和异常，而他们绝对不知道。