使用帧之间的相位变化从 FFT Bin 中提取精确频率

Question

我一直在浏览这篇精彩的文章：http://blogs。 zynaptiq.com/bernsee/pitch-shifting-using-the-ft/

虽然很精彩，但它却非常困难和繁重。这种材料真的让我很紧张。

我从 Stefan 的代码模块中提取了数学知识，该模块计算给定 bin 的确切频率。但我不明白最后的计算。有人能给我解释一下最后的数学结构吗？

在深入研究代码之前，让我先设置一下场景：

• 假设我们设置 fftFrameSize = 1024，因此我们正在处理 512+1 个 bin

• 例如，Bin[1] 的理想频率适合帧中的单个波。在 40KHz 采样率下，tOneFrame = 1024/40K 秒 = 1/40s，因此 Bin[1] 理想情况下会收集 40Hz 信号。

• 设置 osamp (overSample) = 4，我们以 256 的步长沿着输入信号前进。因此，第一个分析检查字节 0 到 1023，然后检查 256 到 1279，等等。请注意，每个浮点都被处理 4 次。

...

void calcBins( 
              long fftFrameSize, 
              long osamp, 
              float sampleRate, 
              float * floats, 
              BIN * bins
              )
{
    /* initialize our static arrays */
    static float gFFTworksp[2*MAX_FRAME_LENGTH];
    static float gLastPhase[MAX_FRAME_LENGTH/2+1];

    static long gInit = 0;
    if (! gInit) 
    {
        memset(gFFTworksp, 0, 2*MAX_FRAME_LENGTH*sizeof(float));
        memset(gLastPhase, 0, (MAX_FRAME_LENGTH/2+1)*sizeof(float));
        gInit = 1;
    }

    /* do windowing and re,im interleave */
    for (long k = 0; k < fftFrameSize; k++) 
    {
        double window = -.5*cos(2.*M_PI*(double)k/(double)fftFrameSize)+.5;
        gFFTworksp[2*k] = floats[k] * window;
        printf("sinValue: %f", gFFTworksp[2*k]);
        gFFTworksp[2*k+1] = 0.;
    }

    /* do transform */
    smbFft(gFFTworksp, fftFrameSize, -1);

    printf("\n");

    /* this is the analysis step */
    for (long k = 0; k <= fftFrameSize/2; k++) 
    {
        /* de-interlace FFT buffer */
        double real = gFFTworksp[2*k];
        double imag = gFFTworksp[2*k+1];

        /* compute magnitude and phase */
        double magn = 2.*sqrt(real*real + imag*imag);
        double phase = atan2(imag,real);

        /* compute phase difference */
        double phaseDiff = phase - gLastPhase[k];
        gLastPhase[k] = phase;

        /* subtract expected phase difference */
        double binPhaseOffset = M_TWOPI * (double)k / (double)osamp;
        double deltaPhase = phaseDiff - binPhaseOffset;

        /* map delta phase into [-Pi, Pi) interval */
        // better, but obfuscatory...
        //    deltaPhase -= M_TWOPI * floor(deltaPhase / M_TWOPI + .5);

        while (deltaPhase >= M_PI)
            deltaPhase -= M_TWOPI;
        while (deltaPhase < -M_PI)
            deltaPhase += M_TWOPI;

（编辑：）现在我不明白的是：

        // Get deviation from bin frequency from the +/- Pi interval 
        // Compute the k-th partials' true frequency    

        // Start with bin's ideal frequency
        double bin0Freq = (double)sampleRate / (double)fftFrameSize;
        bins[k].idealFreq = (double)k * bin0Freq;

        // Add deltaFreq
        double sampleTime = 1. / (double)sampleRate;
        double samplesInStep = (double)fftFrameSize / (double)osamp;
        double stepTime = sampleTime * samplesInStep;
        double deltaTime = stepTime;        

        // Definition of frequency is rate of change of phase, i.e. f = dϕ/dt
        // double deltaPhaseUnit = deltaPhase / M_TWOPI; // range [-.5, .5)
        double freqAdjust = (1. / M_TWOPI) * deltaPhase / deltaTime; 

        // Actual freq <-- WHY ???
        bins[k].freq = bins[k].idealFreq + freqAdjust;
    }
}

我只是看不清它，即使它似乎在盯着脸。有人可以从头开始一步一步解释这个过程吗？

Answer 1

基本原理非常简单。如果给定分量与 bin 频率完全匹配，则其相位不会从一个 FT 变化到下一个 FT。然而，如果频率与 bin 频率不完全对应，则连续 FT 之间将会出现相位变化。频率增量就是：

delta_freq = delta_phase / delta_time

并且组件频率的精确估计将是：

freq_est = bin_freq + delta_freq

Answer 2

我自己为 Performous 实现了这个算法。当您在某个时间偏移处进行另一个 FFT 时，您预计相位会根据偏移而变化，即，对于信号中存在的所有频率，相隔 256 个样本进行的两个 FFT 应该具有 256 个样本的相位差（这假设信号本身是稳定的，对于像 256 个样本这样的短期来说，这是一个很好的假设）。

现在，从 FFT 获得的实际相位值不是样本，而是相位角，因此它们会根据频率而有所不同。在下面的代码中，phaseStep 值是每个 bin 所需的转换因子，即对于对应于 bin x 的频率，相移将为 x *phaseStep。对于箱中心频率，x 将为整数（箱编号），但对于实际检测到的频率，它可以是任何实数。

const double freqPerBin = SAMPLE_RATE / FFT_N;
const double phaseStep = 2.0 * M_PI * FFT_STEP / FFT_N;

校正的工作原理是假设频段中的信号具有频段中心频率，然后计算其预期相移。从实际偏移中减去该预期偏移，留下误差。取余数（模 2 pi）（-pi 到 pi 范围），并使用 bin 中心 + 校正来计算最终频率。

// process phase difference
double delta = phase - m_fftLastPhase[k];
m_fftLastPhase[k] = phase;
delta -= k * phaseStep;  // subtract expected phase difference
delta = remainder(delta, 2.0 * M_PI);  // map delta phase into +/- M_PI interval
delta /= phaseStep;  // calculate diff from bin center frequency
double freq = (k + delta) * freqPerBin;  // calculate the true frequency

请注意，许多相邻的 bin 通常最终会校正到相同的频率，因为无论哪种方式，增量校正都可以高达 0.5 * FFT_N / FFT_STEP bin，因此您使用的 FFT_STEP 越小，校正的距离就越远（但这会增加处理能力）需要以及由于不准确而导致的不精确）。

我希望这有帮助:)

Answer 3

我终于明白了这一点；我真的必须从头开始推导它。我知道会有一些简单的方法来推导它，我（通常）的错误是试图遵循其他人的逻辑而不是使用我自己的常识。

这个谜题需要两把钥匙来解锁。

• 第一个关键是了解过采样如何引入 bin 相位旋转。

• 第二个密钥来自图 3.3 & 3.4 此处：http://www.dspdimension.com/admin/pitch-shifting-using- the-ft/

...

for (int k = 0; k <= fftFrameSize/2; k++) 
{
    // compute magnitude and phase 
    bins[k].mag = 2.*sqrt(fftBins[k].real*fftBins[k].real + fftBins[k].imag*fftBins[k].imag);
    bins[k].phase = atan2(fftBins[k].imag, fftBins[k].real);

    // Compute phase difference Δϕ fo bin[k]
    double deltaPhase;
    {
        double measuredPhaseDiff = bins[k].phase - gLastPhase[k];
        gLastPhase[k] = bins[k].phase;

        // Subtract expected phase difference <-- FIRST KEY
        // Think of a single wave in a 1024 float frame, with osamp = 4
        //   if the first sample catches it at phase = 0, the next will 
        //   catch it at pi/2 ie 1/4 * 2pi
        double binPhaseExpectedDiscrepancy = M_TWOPI * (double)k / (double)osamp;
        deltaPhase = measuredPhaseDiff - binPhaseExpectedDiscrepancy;

        // Wrap delta phase into [-Pi, Pi) interval 
        deltaPhase -= M_TWOPI * floor(deltaPhase / M_TWOPI + .5);
    }

    // say sampleRate = 40K samps/sec, fftFrameSize = 1024 samps in FFT giving bin[0] thru bin[512]
    // then bin[1] holds one whole wave in the frame, ie 44 waves in 1s ie 44Hz ie sampleRate / fftFrameSize
    double bin0Freq = (double)sampleRate / (double)fftFrameSize;
    bins[k].idealFreq = (double)k * bin0Freq;

    // Consider Δϕ for bin[k] between hops.
    // write as 2π / m.
    // so after m hops, Δϕ = 2π, ie 1 extra cycle has occurred   <-- SECOND KEY
    double m = M_TWOPI / deltaPhase;

    // so, m hops should have bin[k].idealFreq * t_mHops cycles.  plus this extra 1.
    // 
    // bin[k].idealFreq * t_mHops + 1 cycles in t_mHops seconds 
    //   => bins[k].actualFreq = bin[k].idealFreq + 1 / t_mHops
    double tFrame = fftFrameSize / sampleRate;
    double tHop = tFrame / osamp;
    double t_mHops = m * tHop;

    bins[k].freq = bins[k].idealFreq + 1. / t_mHops;
}

Answer 4

这是相位声码器方法使用的频率估计技术。

如果及时查看（固定频率和固定幅度）正弦波上的单个点，相位将随时间提前，提前量与频率成正比。或者您也可以进行相反的操作：如果您测量正弦曲线的相位在任何单位时间内的变化量，您就可以计算该正弦曲线的频率。

相位声码器使用两个FFT参考两个FFT窗口来估计相位，并且两个FFT的偏移量是两个相位测量在时间上的距离。从那时起，您就得到了该 FFT 箱的频率估计（FFT 箱大致是一个滤波器，用于隔离正弦分量或适合该箱的其他足够窄带的信号）。

为了使该方法发挥作用，使用中的FFT bin附近的频谱必须相当稳定，例如频率不改变等。这是相位声码器所需要的假设。

Answer 5

也许这会有所帮助。将 FFT bin 视为指定的小时钟或转子，每个时钟或转子都以 bin 的频率旋转。对于稳定的信号，可以使用您未获得的位中的数学来预测转子的（理论上）下一个位置。
针对这个“应该”（理想）位置，您可以计算几个有用的东西：（1）与相邻帧的 bin 中的相位的差异，相位声码器使用它来更好地bin 频率的估计，或者 (2) 更一般的相位偏差，它是音频中音符开始或某些其他事件的积极指标。

Answer 6

恰好落在 bin 频率上的信号频率将 bin 相位提前 2π 的整数倍。由于 FFT 的周期性，与 bin 频率相对应的 bin 相位是 2π 的倍数，因此在这种情况下没有相位变化。你提到的文章也解释了这一点。