为什么除法产生的结果与浮点数乘以分数的结果截然不同

Question

我理解为什么浮点数不能进行比较，并且知道尾数和指数二进制表示，但我不是专家，今天我遇到了一些我不明白的事情：

也就是说，假设你有类似的东西：

float denominator, numerator, resultone, resulttwo;

resultone = numerator / denominator;

float buff = 1 / denominator;

resulttwo = numerator * buff;

给我的了解不同的失败会产生不同的结果，这并不罕见。但在某些边缘情况下，这两个结果似乎有很大不同。更具体地说，在我的 GLSL 代码中计算 Cook-Torrance 光照模型的 Beckmann 面斜率分布：

float a = 1 / (facetSlopeRMS * facetSlopeRMS * pow(clampedCosHalfNormal, 4));
float b = clampedCosHalfNormal * clampedCosHalfNormal - 1.0;
float c = facetSlopeRMS * facetSlopeRMS * clampedCosHalfNormal * clampedCosHalfNormal;

facetSlopeDistribution = a * exp(b/c);

非常不同的结果

float a = (facetSlopeRMS * facetSlopeRMS * pow(clampedCosHalfNormal, 4));
facetDlopeDistribution = exp(b/c) / a;

产生与为什么会产生 ？第二种表达形式是有问题的。

如果我说尝试将表达式的第二种形式添加到颜色中，我会得到黑色，即使表达式应始终计算为正数。我得到的是无穷大吗？一个NaN？如果是这样为什么？

Answer 1

我没有详细介绍你的数学，但你必须意识到，所有这些幂和指数很容易产生小错误。您应该尝试用 var + e(var) 替换所有变量 var （在纸面上，是的）并导出总误差的表达式 - 无需在步骤之间进行简化，因为这就是错误的来源！

这也是计算流体动力学中的一个非常常见的问题，如果您的网格与模拟流没有正确对齐，您可以观察到诸如“数值扩散”之类的问题。

因此，要清楚地了解最大误差的来源，并尽可能重写方程以最小化数字误差。

编辑：为了澄清，举一个例子

假设您有一些变量x和一个表达式y=exp(x)。 x 中的误差表示为 e(x)，并且与 x 相比较小（例如 e(x)/x e(x)/x e(x)/x x）。 0.0001，但请注意，这取决于您使用的类型）。那么你可以说，

e(y) = y(x+e(x)) - y(x)
e(y) ~ dy/dx * e(x)   (for small e(x))
e(y) = exp(x) * e(x)

所以 exp(x) 的绝对误差被放大了，这意味着在 x=0 周围确实没有问题（这并不奇怪，因为在该点 exp(x) 的斜率等于 x) 的斜率，但对于大的 x 你会注意到这一点。

相对误差将是，

e(y)/y = e(y)/exp(x) = e(x)

而 x 中的相对误差为，

e(x)/x

因此您将 x 因子添加到相对误差中。