给定起点和终点的法线，如何计算 3D 三次 Bézier 曲线上点的法线？

Question

我正在尝试使用单个 3D 三次贝塞尔曲线来渲染“3D 功能区”来描述它（功能区的宽度是某个常数）。第一个和最后一个控制点有一个与之关联的法线向量（它们总是垂直于这些点处的切线，并描述这些点处丝带的表面法线），并且我试图将法线向量平滑地插值到曲线的走向。

例如，给定一条形成字母“C”的曲线，第一个和最后一个控制点的表面法线均指向上方，丝带应开始平坦，与地面平行，缓慢转动，然后再次平坦，面向与第一个控制点的方法相同。为了“顺利”地做到这一点，它必须在曲线的一半处面向外。目前（对于本例），我只能使所有表面朝上（而不是在中间朝外），这会在中间产生一个丑陋的过渡。

这很难解释，我在下面附上了这个示例的一些图像，其中包含它当前的样子（所有表面朝上，中间急剧翻转）以及它应该是什么样子（平滑过渡，表面缓慢旋转）。银色面代表正面，黑色面代表背面。

不正确，目前的样子：

正确的功能区 http://img211.imageshack.us/ img211/4659/ribbonin Correct.th.png

正确，它应该是什么样子：

不正确的功能区 http://img515.imageshack.us/img515/2673/ribbon Correct.th.png

我真正需要的是能够计算这个“混合法线向量” 3D 三次贝塞尔曲线上的任何点，我可以毫无问题地生成多边形，但我无法弄清楚如何让它们如图所示平滑地旋转。完全不知道如何进行！

Answer 1

您可以使用 这个答案，评估 t=0（或固定 t，无论您选择哪个）时的法线将为您提供平滑的过渡。

像这样：

（想象一下沿着蓝红色边框的人行道）

编辑

好的，这是我通过另一种方式得到的：

过程很简单：

让你的参数化函数：

f[t] := { x[t], y[t], z[t] }  

计算切向量求导数：

f'[t] := { x'[t], y'[t], z'[t] }  

选择您的起始（和结束法线向量）例如：

n[0] = {0, 0, 1};

现在定义另一个函数作为导数和法线的向量积：

cp[t_] := CrossProduct[f'[t], n[0]];  

就是这样。

我的四边形的点位于：

 {f[t] - cp[t]/3, 
  f[t] + cp[t]/3, 
  f[t + dt] + cp[t + dt]/3, 
  f[t + dt] - cp[t + dt]/3}  

其中 dt 是你喜欢的增量。

更复杂的方法可能会考虑曲线路径长度，但我猜这是算法的第二次迭代。

哈！