Mathematica：“15 位 Sqrt[x] 得到 42”百万位数字的x”

Question

我在 Mathematica 中这样做来计算 Sqrt[5]：

a[0] = 2 
a[n_] := a[n] = a[n-1] - (a[n-1]^2-5)/2/a[n-1] 

a[25] 与 Sqrt[5] 有多接近？

N[Sqrt[5]-a[25]] // FortranForm 
4.440892098500626e-16 

a[25]^2 与 5 有多接近？

N[a[25]^2-5] // FortranForm 
8.305767102358763e-42074769 

这对我来说似乎很奇怪。我的估计：如果 x 在 Sqrt[5] 的 10^-n 范围内， 那么 x^2 在 5 的 10^(-2*n) 之内，给定或取。不？事实上：（

a[25]^2 = (Sqrt[5]-4.440892098500626e-16)^2 ~ 5 - 2*5*4.440892098500626e-16 

展开（ab）^2），所以精度应该只有14位左右 （或者一般来说是 n 位数字）。

当然，牛顿法在 25 个数字中只能得出 15 个准确的数字 迭代似乎也很奇怪。

在上面的计算中我是否太早失去了精度？请注意：

N[Log[Sqrt[5]-a[25]]] // FortranForm 
-35.35050620855721 

同意上面的 15 位精度，即使我在 之后 执行了 N[] 记录日志（所以它应该是准确的）。

Answer 1

问题是 Mma 如何计算你的序列。

a[n] 是有理数。让我们以双对数比例查看分子的数量级：

a[0] = 2 
a[n_] := a[n] = a[n-1] - (a[n-1]^2-5)/2/a[n-1] 
ListPlot@Table[Log[10, Log[10, Numerator[ a[i]]]], {i, 1, 25}]

因此，您的分子以双倍形式增加指数。

10^-16 精度是在 a[25] 之前实现的：

For[i = 1, i < 5, i++,
 Print["dif[", i, "]= ", N[a[i] - Sqrt[5], 16]]
 ]

dif[1]= 0.01393202250021030

dif[2]= 0.00004313361132141470

dif[3]= 4.160143063513508*10^-10

dif[4]= 3.869915959583412*10^-20  

之后，您开始控制除法的精度，因为 a[5] 的分子已经有 20 位数字。