求最小值“加入”序列操作

Question

假设我们有一个正整数 x1, x2, ... , xn 的列表/数组。 我们可以对此序列执行join操作，这意味着我们可以用一个元素替换彼此相邻的两个元素，该元素是这些元素的总和。例如：

-> array/list: [1;2;3;4;5;6]

• 我们可以连接 2 和 3，并用 5 替换它们；
• 我们可以加入 5 和 6，并用 11 替换它们；
• 我们不能 加入 2 和 4；
• 我们不能 连接 1和3等。

主要问题是找到给定序列的最小连接操作，之后该序列将按升序排序。

注意：空序列和单元素序列按升序排序。

基本示例：

• for [4; 6； 5； 3； 9] 解决方案是 1（我们加入 5 和 3）

• 对于 [1; 3； 6； 5] 解决方案也是 1（我们加入 6 和 5）

我正在寻找的是解决这个问题的算法。它可以是伪代码、C、C++、PHP、OCaml 或类似的形式（我的意思是：如果您用这些语言之一编写解决方案，我会理解解决方案）。

Answer 1

这是使用动态编程解决的理想问题，@lijie 描述的递归正是正确的方法，只需进行一些细微的调整即可确保考虑所有可能性。有两个关键的观察结果：(a) 任何连接操作序列都会产生一组不重叠的原始向量的求和子序列，以及 (b) 对于最佳连接序列，如果我们看在任何求和子序列 (m...n) 的右侧，该部分是该问题的最佳解决方案：“找到子向量 (n+1)...N 的最佳连接序列，使得所得结果最终序列已排序，并且所有元素都 >= sum(m...n)

直接实现递归当然会导致指数时间算法，但使用动态编程进行简单调整使其变为 O(N^2)。 ，因为基本上所有 (m,n) 对都被考虑一次，使用动态编程实现递归的一种简单方法是使用由 (m,n) 索引的数据结构来存储一次 f(m,n) 的结果。它们被计算出来，以便下次调用 f(m,n) 时，我们可以查找之前保存的结果，下面的代码使用 R 编程语言来执行此操作，我们希望找到最小值。获得非递减序列的连接数。对于 R 新手，要测试此代码，只需从任何镜像（Google“R 项目”）下载 R，启动它，并将两个函数定义（f 和solve）粘贴到控制台中，然后使用“solve(c(...))”求解任何向量，如下例所示。

f <- function(m,n) {
  name <- paste(m,n)
  nCalls <<- nCalls + 1 
  # use <<- for global assignment
  if( !is.null( Saved[[ name ]] ) ) {
    # the solution for (m,n) has been cached, look it up
    nCached <<- nCached + 1
    return( Saved[[ name ]] )
  }
  N <- length(vec) # vec is global to this function
  sum.mn <- -Inf 
  if(m >= 1)
    sum.mn <- sum( vec[m:n] )
  if(n == N) { # boundary case: the (m,n) range includes the last number
    result <- list( num = 0, joins = list(), seq = c())
  } else
  {
    bestNum <- Inf
    bestJoins <- list()
    bestSeq <- c()
    for( k in (n+1):N ) {
      sum.nk <- sum( vec[ (n+1):k ] )
      if( sum.nk < sum.mn ) next
      joinRest <- f( n+1, k )
      numJoins <- joinRest$num + k-n-1
      if( numJoins < bestNum ) {
        bestNum <- numJoins
        if( k == n+1 )
          bestJoins <- joinRest$joins else
        bestJoins <- c( list(c(n+1,k)), joinRest$joins )
        bestSeq <- c( sum.nk, joinRest$seq)
      }
    }  
    result <- list( num = bestNum, joins = bestJoins, seq = bestSeq )
  }
  Saved[[ name ]] <<- result
  result
}

solve <- function(input) {
  vec <<- input
  nCalls <<- 0
  nCached <<- 0
  Saved <<- c()
  result <- f(0,0)
  cat( 'Num calls to f = ', nCalls, ', Cached = ', nCached, '\n')
  cat( 'Min joins = ', result$num, '\n')
  cat( 'Opt summed subsequences: ')
  cat( do.call( paste, 
                lapply(result$joins, 
                       function(pair) paste(pair[1], pair[2], sep=':' ))),
       '\n')
  cat( 'Final Sequence: ', result$seq, '\n' )
}

以下是一些示例运行：

> solve(c(2,8,2,2,9,12))
Num calls to f =  22 , Cached =  4 
Min joins =  2 
Opt summed subsequences: 2:3 4:5 
Final Sequence:  2 10 11 12 

> solve(c(1,1,1,1,1))
Num calls to f =  19 , Cached =  3 
Min joins =  0 
Opt summed subsequences:  
Final Sequence:  1 1 1 1 1 

> solve(c(4,3,10,11))
Num calls to f =  10 , Cached =  0 
Min joins =  1 
Opt summed subsequences: 1:2 
Final Sequence:  7 10 11 

> solve(c (2, 8, 2, 2, 8, 3, 8, 9, 9, 2, 9, 8, 8, 7, 4, 2, 7, 5, 9, 4, 6, 7, 4, 7, 3, 4, 7, 9, 1, 2, 5, 1, 8, 7, 3, 3, 6, 3, 8, 5, 6, 5))
Num calls to f =  3982 , Cached =  3225 
Min joins =  30 
Opt summed subsequences: 2:3 4:5 6:7 8:9 10:12 13:16 17:19 20:23 24:27 28:33 34:42 
Final Sequence:  2 10 10 11 18 19 21 21 21 21 26 46 

请注意，@kotlinski 考虑的序列的最小连接数是 30，而不是 32 或 33。

Answer 2

贪心算法！

import Data.List (inits)

joinSequence :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int
joinSequence (x:xs) = joinWithMin 0 x xs
  where joinWithMin k _ [] = k
        joinWithMin k x xs =
          case dropWhile ((< x) . snd) $ zip [0..] $ scanl1 (+) xs
            of (l, y):_ -> joinWithMin (k + l) y $ drop (l+1) xs
               _ -> k + length xs
joinSequence _ = 0

每一步，获取更多元素，直到它们的总和不小于最后一个。如果元素用完，只需将剩余的所有元素加入前一组即可。

---

那是错误的。

组合爆炸！

joinSequence :: (Num a, Ord a) => [a] -> Int
joinSequence = joinWithMin 0 0
  where joinWithMin k _ [] = k
        joinWithMin k m xs =
            case dropWhile ((< m) . snd) $ zip [0..] $ scanl1 (+) xs
              of [] -> k + length xs
                 ys -> minimum [ joinWithMin (k+l) y $ drop (l+1) xs 
                               | (l, y) <- ys ]

尝试每一种可能的加入并采取最少的加入。我想不出一种聪明的启发式方法来限制回溯，但这应该是 O(n²) 动态编程< /a> 和 O(2ⁿ) 如下所示。

Answer 3

动态规划方法：

设原数组为a[i], 0 <= i < N。

将 f(m, n) 定义为使 a[n..N-1] 排序所需的最小连接数，以便排序子列表中的所有元素是 > （或 >=，如果需要其他变体）a[m..n-1] 的总和（让空列表的总和为 -inf）。

基本情况是 f(m, N) = 0 （子列表为空）。

递归为 f(m, n) = min_{n k <= N st sum(a[n..k-1]) > sum(a[m..n-1])} f(n, k) + kn-1.如果没有合适的 k 值，则让 f(m, n) = inf （任何 >= N 也可以，因为最多有 N-1 加入）。

按m 和n 的降序计算f(m,n)。

那么，所需的答案是f(0,0)。

编辑

哎呀，我相信这基本上是 ehemient 的第二个答案，尽管我对 Haskell 不够熟悉，无法确切知道它在做什么。

Answer 4

一些 Haskell 代码：

sortJoin (a:b:c:xs)
    | a <= b    = a : sortJoin (b:c:xs)  
    | a+b <= c  = a+b : sortJoin (c:xs)  
    | otherwise = sortJoin (a:b+c:xs)    
sortJoin (a:b:[]) = if a <= b then [a,b] else [a+b]
sortJoin a@_ = a

edits xs = length xs - length (sortJoin xs)

更新：使用 test = [2, 8, 2, 2, 8, 3, 8, 9, 9, 2, 9, 8, 8, 7, 4, 2, 7, 5, 9 来完成这项工作, 4, 6, 7, 4, 7, 3, 4, 7, 9, 1, 2, 5, 1, 8, 7, 3, 3, 6, 3, 8, 5, 6, 5]

...现在我们得到：

> sortJoin test
[2,8,12,20,20,23,27,28,31,55]
> edits test
32

Answer 5

希望保持简单。这是一些指数时间的伪代码。

Function "join" (list, max-join-count, join-count) ->
    Fail if join-count is greater than max-join-count.
    If the list looks sorted return join-count.
    For Each number In List
        Recur (list with current and next number joined, max-join-count, join-count + 1)

Function "best-join" (list) ->
    max-join-count = 0
    while not join (list, max-join-count++)

这是 Clojure 上的实现：

(defn join-ahead [f i v]
  (concat (take i v)
          [(f (nth v i) (nth v (inc i)))]
          (drop (+ 2 i) v)))

(defn sort-by-joining
  "Sort a list by joining neighboring elements with `+'"
  ([v max-join-count join-count]
     (if (or (nil? max-join-count)
             (<= join-count max-join-count))
       (if (or (empty? v)
               (= v (sort v)))
         {:vector v :join-count join-count}
         (loop [i 0]
           (when (< (inc i) (count v))
             (let [r (sort-by-joining (join-ahead + i v)
                                      max-join-count
                                      (inc join-count))]
               (or r (recur (inc i)))))))))
  ([v max-join-count]
     (sort-by-joining v max-join-count 0))
  ([v]
     (sort-by-joining v nil 0)))

(defn fewest-joins [v]
  (loop [i 0]
    (if (sort-by-joining v i)
      i
      (recur (inc i)))))

(deftest test-fewest-joins
  (is (= 0 (fewest-joins nil)))
  (is (= 1 (fewest-joins [4 6 5 3 9])))
  (is (= 6 (fewest-joins [1 9 22 90 1 1 1 32 78 13 1]))))

Answer 6

这是 F# 中的 pchalasani 代码，经过一些修改。记忆过程类似，我添加了一个 sumRange 函数生成器，用于在 O(1) 时间内求和，并将起始位置移动到 f 1 0 以跳过 minJoins 中 n = 0 的检查。

let minJoins (input: int array) =
    let length = input.Length
    let sum = sumRange input

    let rec f = memoize2 (fun m n ->
        if n = length then
            0
        else
            let sum_mn = sum m n 

            {n + 1 .. length}
            |> Seq.filter (fun k -> sum (n + 1) k >= sum_mn)
            |> Seq.map (fun k -> f (n + 1) k + k-n-1)
            |> Seq.append {length .. length}
            |> Seq.min
        )
    f 1 0

完整代码。

open System.Collections.Generic

// standard memoization
let memoize2 f = 
    let cache = new Dictionary<_, _>()
    (fun x1 x2 -> 
        match cache.TryGetValue((x1, x2)) with
        | true, y -> y
        | _ -> 
            let v = f x1 x2
            cache.Add((x1, x2), v)
            v)

// returns a function that takes two integers n,m and returns sum(array[n:m])
let sumRange (array : int array) =
    let forward = Array.create (array.Length + 1) 0

    let mutable total = 0
    for i in 0 .. array.Length - 1 do
        total <- total + array.[i]
        forward.[i + 1] <- total

    (fun i j -> forward.[j] - forward.[i - 1])

// min joins to sort an array ascending
let minJoins (input: int array) =
    let length = input.Length
    let sum = sumRange input

    let rec f = memoize2 (fun m n ->
        if n = length then
            0
        else
            let sum_mn = sum m n 

            {n + 1 .. length}
            |> Seq.filter (fun k -> sum (n + 1) k >= sum_mn)
            |> Seq.map (fun k -> f (n + 1) k + k-n-1)
            |> Seq.append {length .. length} // if nothing passed the filter return length as the min
            |> Seq.min
        )
    f 1 0

let input = [|2;8;2;2;8;3;8;9;9;2;9;8;8;7;4;2;7;5;9;4;6;7;4;7;3;4;7;9;1;2;5;1;8;7;3;3;6;3;8;5;6;5|]
let output = minJoins input
printfn "%A" output
// outputs 30