计算点 p 到高维高斯 (M, V) 的距离

Question

我有一个具有均值 M 和协方差矩阵 V 的高维高斯分布。我想计算从点 p 到 M 的距离，考虑到 V（我猜这是 p 与 M 的标准差的距离？）。

换个角度来说，我取一个距离 M 1 sigma 的椭圆，并想检查 p 是否在该椭圆内部。

Answer 1

如果 V 是有效的高斯协方差矩阵，则它是对称正定的，因此定义了有效的标量积。顺便说一下，inv(V) 也是如此。

因此，假设 M 和 p 是列向量，您可以将距离定义为：

d1 = sqrt((M-p)'*V*(M-p));
d2 = sqrt((M-p)'*inv(V)*(M-p));

将 d2 重写为 Matlab 方式（可能是一些不必要的括号）：

d2 = sqrt((M-p)'*(V\(M-p)));

好处是，当 V 是单位矩阵时，那么d1==d2它对应于经典的欧几里得距离。确定是否必须使用 d1 还是 d2 留作练习（抱歉，我的工作之一是教学）。写出多维高斯公式并将其与一维情况进行比较，因为多维情况只是一维的特殊情况（或进行一些数值实验）。

注意：在非常高的维空间中或对于很多要测试的点，您可能会从 V 的特征向量和特征值（即椭球体的主轴及其相应的方差）中找到一种聪明/更快的方法。

希望这有帮助。

一个。

Answer 2

考虑计算给定正态分布的点的概率：

M = [1 -1];             %# mean vector
V = [.9 .4; .4 .3];     %# covariance matrix
p = [0.5 -1.5];         %# 2d-point
prob = mvnpdf(p,M,V);   %# probability P(p|mu,cov)

函数 MVNPDF由统计工具箱提供

Answer 3

也许我完全不对劲，但这不就和问每个维度一样吗：我在西格玛内吗？

伪代码：

foreach(dimension d)
    (M(d) - sigma(d) < p(d) < M(d) + sigma(d)) ?

因为你想知道 p 是否在高斯的每个维度内。所以实际上，这只是一个空间问题，你的高斯不必对此做任何事情（除了 M 和 sigma，它们只是距离）。

在 MATLAB 中，您可以尝试类似的操作：

all(M - sigma < p < M + sigma)

到那个地方的距离可能是，我不知道欧几里得距离的函数。也许 dist 有效：

dist(M, p)

因为 M 只是空间中的一个点，p 也是。只有 2 个向量。
现在是最后一场。您想知道西格玛形式的距离：

% create a distance vector and divide it by sigma
M - p ./ sigma

我认为这可以解决问题。