使用基本算术以任意精度计算 Pi

Question

我正在寻找一个公式/算法来计算给定精度的 PI~3.14。

公式/算法必须只有非常基本的算术，如

• +: 加法
• -: 减法
• *: 乘法
• /: 除法，

因为我想在 C++ 中实现这些运算，并希望实现尽可能简单（不允许使用 bignum 库）。

我发现这个计算 Pi 的公式非常简单：（

Pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...  = sum( (-1)^(k+1)/(2*k-1) , k=1..inf )

注意 (-1)^(k+1) 可以通过上述运算符轻松实现）。

但这个公式的问题是无法指定要计算的位数。换句话说，没有直接的方法来确定何时停止计算。

也许解决此问题的方法是计算第 n-1 项和第 n 项计算项之间的差异，并将其视为当前误差。

不管怎样，我正在寻找一个具有这些属性并且能够更快地收敛到 Pi 的公式/算法

Answer 1

键盘链接：

#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
    double p16 = 1, pi = 0, precision = 10;

    for(int k=0; k<=precision; k++)
    {
        pi += 1.0/p16 * (4.0/(8*k + 1) - 2.0/(8*k + 4) - 1.0/(8*k + 5) - 1.0/(8*k+6));
        p16 *= 16;
    }
    std::cout<<std::setprecision(80)<<pi<<'\n'<<M_PI;
}

输出：

3.141592653589793115997963468544185161590576171875
3.141592653589793115997963468544185161590576171875

这实际上是Bailey-Borwein-Plouffe 公式，也取自维基百科的链接。

Answer 2

在您的原始（缓慢收敛）示例中，可以计算误差项，因为这是一个交替序列；请参阅 http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series#Approximating_Sums

本质上，下一个未计算的项是误差的界限。

Answer 3

您只需执行 arctan(1) 的泰勒包络，然后将所有其余部分相加即可得到 pi/4。
arctan(1) 的泰勒包络

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

您也可以使用 z=1 的欧拉公式，然后将结果乘以 4。

http://upload.wikimedia.org/math/2/7/9/279bed5a2ea3b80a71f5b22078090168.png