重温抛物线下的面积

Question

我无法从上一个问题开始，因为我不是该网站的会员，所以当我返回时我无法对其发表评论。 这是我的问题：

要找到由图形 y=x^2 和区间 [a,b] 上的 x 轴界定的区域的面积，我们可以通过绘制多个“薄”矩形并取它们的面积之和。让我们将 [a,b] 分成 n 个相同宽度的较小区间 h=b-1/n。在每个间隔上都有一个高度为 y=r 的矩形，其中 r 是 x 轴上该小间隔的中间。该矩形的面积为 hy。编写一个 Python 函数，以 a、b 和 n 作为参数，并使用上述方法返回抛物线 y=x^2 下区域的近似面积。如果您可以解释一下您的程序为何有效，那将会有所帮助。

感谢有用的成员，我找到了以下程序（请编辑该程序，因为我无法/不知道如何

def parabola(x):
    y = x*x
    return y

def approx_area(fn, a, b, n):
    """
    Approximate the area under fn in the interval [a,b]
    by adding the area of n rectangular slices.
    """

    a = float(a)
    b = float(b)
    area = 0.0
    for slice in range(n):
        left = a + (b-a)*slice/n
        right = a + (b-a)*(slice+1)/n
        mid = (left + right)*0.5
        height = fn(mid)
        width = right - left
        area += height * width

    return area

    print "Area is", approx_area(parabola, -1.0, 1.0, 500)

但是，我需要将其放在一个完整的函数下。关于如何做到这一点有什么想法吗？

Answer 1

好的，通过将函数更改为 y = x 并尝试一些已知的输入值，我得出的结论是它工作正常：

0 .. 1 =>  0.5
0 .. 2 =>  2.0
1 .. 2 =>  1.5
0 .. 9 => 40.5

如果您希望将所有内容都放在一个函数中，只需摆脱 parabola() ，从 approx_area() 函数（并调用）中删除第一个参数，然后将：更改

height = fn(mid)

为：

height = mid * mid

如：

def approx_area(a, b, n):
    """
    Approximate the area under fn in the interval [a,b]
    by adding the area of n rectangular slices.
    """

    a = float(a)
    b = float(b)
    area = 0.0
    for slice in range(n):
        left = a + (b-a)*slice/n
        right = a + (b-a)*(slice+1)/n
        mid = (left + right)*0.5
        height = mid * mid
        width = right - left
        area += height * width

    return area

print "Area is", approx_area(-1, 1, 500)

请注意，我通常不会为家庭作业提供这么多明确的帮助，但是，由于您自己完成了大部分工作，因此只需轻轻一推即可将您推过界限。

我会警告您不要按原样提交此代码，因为简单的网络搜索很容易在这里找到它，并且您的成绩可能会因此受到影响。

检查它，彻底了解它是如何工作的，然后尝试自己重新编码，而不查看此源代码。相信我，这比盲目抄袭对你的职业生涯有更大的帮助。

---

为了让您理解此方法背后的理论，请考虑函数 y = x 的切片：

7   .
6  /|
5 / |
  | |
  | |
  | |
  | |
  | |
0 +-+
  567

顶部的中点 y 坐标（以及高度）为 (5 + 7) / 2，或6，宽度为2，因此面积为12。

现在，这实际上是实际区域，但这只是因为我们使用的公式所致。对于非线性公式，由于顶部“线”的性质，会出现不准确的情况。具体来说，在你的情况下，抛物线是弯曲的。

但这些不准确性会变得越来越少，并且您使用的切片越来越薄，因为当您缩短任何线时，它都会趋向于直线（线性）。对于上述情况，如果将其分为两片，则面积将为 5.5 x 1 和 6.5 x 1，总共为 12 。如果你的线不是直的，两片的答案会比一片的答案更接近现实。

对于你的抛物线（但是从 x = 0 .. 1 开始，为了让我的生活更轻松，只需将 x = -1 .. 1 的所有内容加倍，因为它围绕 y- 对称轴），单片解决方案中最坏的情况。在这种情况下，中点位于 x = 0.5, y = 0.25，当您将 y 乘以 1 的宽度时，您获得 0.25 的面积。

对于两个切片（宽度 = 0.5），中点位于：

   x       y    y x width
----  ------    ---------
0.25  0.0625      0.03125
0.75  0.5625      0.28125
                ---------
                  0.31250

因此估计面积为 0.3125。

对于四个切片（宽度 = 0.25），中点位于：

    x         y   y x width
-----  --------  ----------
0.125  0.015625  0.00390625
0.375  0.140625  0.03515625
0.625  0.390625  0.09765625
0.875  0.765625  0.19140625
                 ----------
                 0.32812500

因此估计面积为 0.328125。

对于八个切片（宽度 = 0.125），中点位于：

     x           y    y x width
------  ----------  -----------
0.0625  0.00390625  0.000488281
0.1875  0.03515625  0.004394531
0.3125  0.09765625  0.012207031
0.4375  0.19140625  0.023925781
0.5625  0.31640625  0.039550781
0.6875  0.47265625  0.059082031
0.8125  0.66015625  0.082519531
0.9375  0.87890625  0.109863281
                    -----------
                    0.332031248

因此估计面积为 0.332031248。

正如您所看到的，这越来越接近 1/3 的实际面积（我知道这一点是因为我了解微积分，见下文）。

希望这将帮助您理解您所拥有的代码。

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如果您真的想知道这是如何工作的，您需要研究微积分，特别是积分和微分。这些方法可以采用一个公式并为您提供另一个公式来计算直线的斜率和直线下方的面积。

但是，除非您要经常使用它并且需要真正的（数学）准确性，否则您可能可以只使用您正在学习的近似方法。

Answer 2

http://en.wikipedia.org/wiki/Integral 上也有一个很好的可视化说明#Formal_definitions

我们查看 a 和 b 之间的抛物线部分，并将其划分为一组垂直矩形切片，使得每个矩形的顶部中心正好位于抛物线上。

这使得每个矩形的一个角“悬在”抛物线上方，而另一个角太低，留下未填充的空间；所以抛物线下的面积等于矩形的面积加上一点，减去一点。但我们如何比较这些位呢？矩形的面积是不是太大了，或者不够？

如果我们在矩形的顶部中心画一条与抛物线相切的线，我们就可以“剪掉”重叠的部分，翻过来，加到另一边；请注意，这不会改变矩形（现在是梯形）的总面积。

我们现在可以看到抛物线下方两侧都留有一点空间，因此梯形的面积略小于抛物线下方的面积。现在，我们可以将梯形顶部视为沿着抛物线底部形成一堆直线段（“线性分段近似”）；并且线段下方的面积几乎与我们正在寻找的实际面积相同（但总是略小于）。

那么我们如何最小化“略小于”的量，让我们计算的面积更加准确呢？一种方法是使用曲线近似件代替直线；这会导致样条曲线（贝塞尔曲线、NURBS 等）。另一种方法是使用大量较短的线段，以“提高分辨率”。微积分将这个想法发挥到极致（双关语），使用无限数量的无限短的片段。