组合两个正态随机变量

Question

假设我有以下 2 个随机变量：

X，其中平均值 = 6 且标准偏差 = 3.5
Y 其中mean = -42 且stdev = 5

我想根据前两个创建一个新的随机变量Z，并知道：X 发生在 90% 的时间，Y 发生在 10% 的时间。

计算 Z 的平均值很容易： 0.9 * 6 + 0.1 * -42 = 1.2

但是是否可以在单个函数中生成 Z 的随机值？ 当然，我可以按照这些思路做一些事情：

if (randIntBetween(1,10) > 1)
    GenerateRandomNormalValue(6, 3.5);
else
    GenerateRandomNormalValue(-42, 5);

但我真的很想有一个函数来充当这样一个不一定是正态的随机变量（Z）的概率密度函数。

抱歉，蹩脚的伪代码

感谢您的帮助！

编辑：这是一个具体的询问：

假设我们将 Z 中 5 个连续值的结果相加。以大于 10 的数字结尾的概率是多少？

Answer 1

但是我真的很想拥有一个
单个函数将充当
这样的概率密度函数
随机变量 (Z) 不是
必要的正常。

好的，如果你想要密度，这里是：

rho = 0.9 * density_of_x + 0.1 * density_of_y

但是如果你不这样做，你就无法从这个密度中采样：1）计算它的CDF（很麻烦，但并非不可行）2）反转它（你将需要一个数值求解器） 。或者您可以进行拒绝采样（或变体，例如重要性采样）。这是成本高昂且难以正确实施的。

因此，您应该使用“if”语句（即调用生成器 3 次），除非您有非常充分的理由不这样做（例如使用准随机序列）。

Answer 2

如果随机变量表示为 x=(mean,stdev)，则以下代数适用，

number * x = ( number*mean, number*stdev )

x1 + x2 = ( mean1+mean2, sqrt(stdev1^2+stdev2^2) )

因此对于 X = (mx,sx)、Y= (my,sy) 的情况，线性组合为

Z = w1*X + w2*Y = (w1*mx,w1*sx) + (w2*my,w2*sy) = 
    ( w1*mx+w2*my, sqrt( (w1*sx)^2+(w2*sy)^2 ) ) =
    ( 1.2, 3.19 )

链接： 正态分布查找杂项部分，第 1 项。

PS。抱歉使用了奇怪的符号。新的标准差是通过类似于毕达哥拉斯定理的方法计算的。它是平方和的平方根。

Answer 3

这是分布的形式：

ListPlot[BinCounts[Table[If[RandomReal[] < .9,
    RandomReal[NormalDistribution[6, 3.5]], 
    RandomReal[NormalDistribution[-42, 5]]], {1000000}], {-60, 20, .1}], 
    PlotRange -> Full, DataRange -> {-60, 20}]

它不是正常的，因为您没有添加正常变量，而只是选择以一定的概率选择其中之一。

编辑

这是使用此分布添加五个变量的曲线：

上部和下部峰值代表单独采用其中一种分布，中间峰值表示混合。

Answer 4

最直接且普遍适用的解决方案是模拟该问题：

运行您拥有的分段函数 1,000,000（只是一个很高的次数）次，生成结果的直方图（通过将它们分成多个箱，然后将每个箱的计数除以您的 N（在我的示例中为 1,000,000）这将为您留下每个给定 bin 的 Z 的 PDF 的近似值。

Answer 5

这里有很多未知数，但本质上您只是希望将两个（或更多）概率函数彼此相加。

对于任何给定的概率函数，您可以通过计算概率曲线下的面积（积分）来计算具有该密度的随机数，然后生成 0 和该面积之间的随机数。然后沿着曲线移动，直到面积等于您的随机数并将其用作您的值。

然后可以将该过程推广到任何函数（或两个或多个函数的总和）。

详细说明：
如果你有一个范围从 0 到 1 的分布函数 f(x)。你可以通过计算 f(x) 从 0 到 1 的积分来计算基于分布的随机数，给出曲线下的面积，让称之为 A。

现在，您生成一个介于 0 和 A 之间的随机数，我们将该数字称为 r。现在你需要找到一个值 t，使得 f(x) 从 0 到 t 的积分等于 r。 t 是你的随机数。

该过程可用于任何概率密度函数 f(x)。包括两个（或多个）概率密度函数的总和。

我不确定你的函数是什么样的，所以不确定你是否能够计算所有这些的解析解，但更糟糕的情况是，你可以使用数字技术来近似效果。