如何实现无n次方有理数的幂运算？

Question

它对我来说只有 log(base "e")、sin、tan 和 sqrt（仅平方根）函数和基本算术运算符 (+ - * / mod)。我还有“e”常数。

我正在尝试使用 Deluge (zoho.com) 来解决这些限制的几个问题。我必须实现有理（分数）底数和指数的幂运算。

Answer 1

假设您要计算 pow(A, B)

考虑以 2 为基数的 B 表示形式：

B = b[n]   * pow(2, n    ) +
    b[n-1] * pow(2, n - 1) +
    ...
    b[2]   * pow(2, 2    ) +
    b[1]   * pow(2, 1    ) +
    b[0]   * pow(2, 0    ) +
    b[-1]  * pow(2, -1   ) +
    b[-2]  * pow(2, -2   ) +
    ...

 = sum(b[i] * pow(2, i))

其中 b[x] 可以是 0 或 1 且 pow(2, y) 是 2 的整数幂（即 1, 2、4、1/2、1/4、1/8）。

然后，

pow(A, B) = pow(A, sum(b[i] * pow(2, i)) = mul(pow(A, b[i] * pow(2, i)))

因此可以仅使用乘法和平方根运算来计算pow(A, B)

Answer 2

如果你有一个执行 e^x 的函数 F()，其中 e 是常数，x 是任意数字，那么你可以这样做：(a 是底​​数，b 是指数，ln 是 log-e)

a^b = F(b * ln(a))

如果没有执行 e^x 的 F()，那么事情会变得更棘手。如果您的指数 (b) 是有理数，那么您应该能够使用某种循环找到整数 m 和 n，使得 b = m/n。一旦有了 m 和 n，就进行另一个循环，将 a 乘以 m 次得到 a^m，然后将 a 乘以 n 次得到 a^n，然后除 a^m/a^n 得到 a^ (m/n)，即a^b。