计算变换球体的 AABB

Question

我有一个在对象空间中由中心点和半径表示的球体。使用可能包括缩放、旋转和平移的变换矩阵将球体变换为世界空间。我需要为世界空间中的球体构建一个轴对齐的边界框，但我不知道该怎么做。

这是我目前的方法，适用于某些情况：

public void computeBoundingBox() {
    // center is the middle of the sphere
    // averagePosition is the middle of the AABB
    // getObjToWorldTransform() is a matrix from obj to world space
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(center, averagePosition);

    Point3 onSphere = new Point3(center);
    onSphere.scaleAdd(radius, new Vector3(1, 1, 1));
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(onSphere);

    // but how do you know that the transformed radius is uniform?
    double transformedRadius = onSphere.distance(averagePosition);

    // maxBound is the upper limit of the AABB
    maxBound.set(averagePosition);
    maxBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(1, 1, 1));

    // minBound is the lower limit of the AABB
    minBound.set(averagePosition);
    minBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(-1,-1,-1));
}

但是，我怀疑这是否总是有效。不均匀缩放不应该失败吗？

Answer 1

一般来说，变换后的球体将是某种椭球体。为其获得精确的边界框并不难；如果您不想完成所有数学运算：

• 请注意，M 是您的变换矩阵（缩放、旋转、平移等），
• 下面的 S 的定义
• 请阅读计算 R 如最后所述，
• 根据 R< 计算 x、y 和 z 边界/code> 如前所述。

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一般圆锥曲线（包括球体及其变换）可以表示为对称 4x4 矩阵：当 p^t 时，齐次点 p 位于圆锥曲线 S 内部S p ＜ 0 。通过矩阵 M 变换空间会按如下方式变换 S 矩阵（下面的约定是点是列向量）：

A unit-radius sphere about the origin is represented by:
S = [ 1  0  0  0 ]
    [ 0  1  0  0 ]
    [ 0  0  1  0 ]
    [ 0  0  0 -1 ]

point p is on the conic surface when:
0 = p^t S p
  = p^t M^t M^t^-1 S M^-1 M p
  = (M p)^t (M^-1^t S M^-1) (M p)

transformed point (M p) should preserve incidence
-> conic S transformed by matrix M is:  (M^-1^t S M^-1)

圆锥曲线的对偶适用于平面而不是点，由 S 的倒数表示；对于平面 q（表示为行向量）：

plane q is tangent to the conic when:
0 = q S^-1 q^t
  = q M^-1 M S^-1 M^t M^t^-1 q^t
  = (q M^-1) (M S^-1 M^t) (q M^-1)^t

transformed plane (q M^-1) should preserve incidence
-> dual conic transformed by matrix M is:  (M S^-1 M^t)

因此，您正在寻找与变换二次曲线相切的轴对齐平面：

let (M S^-1 M^t) = R = [ r11 r12 r13 r14 ]  (note that R is symmetric: R=R^t)
                       [ r12 r22 r23 r24 ]
                       [ r13 r23 r33 r34 ]
                       [ r14 r24 r34 r44 ]

axis-aligned planes are:
  xy planes:  [ 0 0 1 -z ]
  xz planes:  [ 0 1 0 -y ]
  yz planes:  [ 1 0 0 -x ]

要查找与 R 相切的 xy 对齐平面：

  [0 0 1 -z] R [ 0 ] = r33 - 2 r34 z + r44 z^2 = 0
               [ 0 ]
               [ 1 ]
               [-z ]

  so, z = ( 2 r34 +/- sqrt(4 r34^2 - 4 r44 r33) ) / ( 2 r44 )
        = (r34 +/- sqrt(r34^2 - r44 r33) ) / r44

同样，对于 xz 对齐平面：

      y = (r24 +/- sqrt(r24^2 - r44 r22) ) / r44

和 yz -对齐平面：

      x = (r14 +/- sqrt(r14^2 - r44 r11) ) / r44

这为您提供了变换后的球体的精确边界框。

Answer 2

@comingstorm 的答案很好，但可以简化很多。如果 M 是球体的变换矩阵，从 1 开始索引，那么

x = M[1,4] +/- sqrt(M[1,1]^2 + M[1,2]^2 + M[1,3]^2)
y = M[2,4] +/- sqrt(M[2,1]^2 + M[2,2]^2 + M[2,3]^2)
z = M[3,4] +/- sqrt(M[3,1]^2 + M[3,2]^2 + M[3,3]^2)

（假设球体在变换之前半径为 1，其中心位于原点。）

我写了一篇博客文章，其中证明 此处，对于合理的堆栈溢出来说太长了回答。

Answer 3

@comingstorm 的答案很优雅，因为它使用了齐次坐标和圆锥曲线的对偶性。

该问题也可以视为约束最大化问题，可以通过拉格朗日乘子法求解。以 y 轴的 AABB 为例。优化目标为

，约束是椭球方程

拉格朗日为

其中 lambda 是乘数。极值只是以下方程的解

给出

Answer 4

这不适用于非均匀缩放。可以使用拉格朗日乘子（KKT 定理）计算任意可逆仿射变换，我相信它会变得很难看。

但是 - 您确定需要精确的 AABB 吗？您可以通过变换球体的原始 AABB 并得到其 AABB 来近似它。它比精确的 AABB 更大，因此可能适合您的应用。

为此，我们需要三个伪函数：

GetAABB(sphere) 将获取球体的 AABB。

GetAABB(points-list) 将获取给定点集的 AABB（只是所有点的最小/最大坐标）。

GetAABBCorners(p, q) 将获取 AABB 的所有 8 个角点（其中 p 和 q）。

(p, q) = GetAABB(sphere);
V = GetAABBCorners(p, q);
for i = 1 to 8 do
    V[i] = Transform(T, V[i]);
(p, q) = GetAABB(V);