如何在 C++ 中计算列随机矩阵的特征向量

Question

我有一个列随机矩阵 A，想要用 C++ 求解以下方程： Ax=x

我假设我需要找出一个特征向量 x，其中特征值设置为 1（对吗？），但我无法在 C++ 中找到它。到目前为止，我已经检查了一些数学库，例如 Seldon、CPPScaLapack、Eigen...其中，Eigen 似乎是一个不错的选择，但我无法理解如何利用它们中的任何一个来求解上面的方程。

你能给我一些建议/代码片段或想法来解决这个方程吗？ 非常感谢任何帮助。

谢谢。

编辑： A 是 n×n 实数非负矩阵。

Answer 1

请记住，我没有使用过 Eigen，但它的 EigenSolver 和 SelfAdjointEigenSolver 看起来能够解决这个问题。这些被列为“实验性”，因此可能存在错误，并且 API 将来可能会发生变化。

// simple, not very efficient
template <typename _M> 
bool isSelfAdjoint(const _M& a) {
    return a == a.adjoint();
}

template <typename _M> 
std::pair<Eigen::EigenSolver<_M>::EigenvalueType Eigen::EigenSolver<_M>::EigenvectorType>
eigenvectors(const _M& a) {
    if (isSelfAdjoint(a)) {
        Eigen::EigenSolver<M> saes(a);
        return pair(saes.eigenvalues(), saes.eigenvectors());
    } else {
        Eigen::EigenSolver<M> es(a);
        return pair(es.eigenvalues, es.eigenvectors());
    }
}

这两个求解器类对于特征值和特征向量集合具有不同的类型，但由于它们都基于类 Matrix 并且矩阵是可转换的，因此上面的方法应该可以工作。

或者，您可以将问题视为齐次线性方程 (AI_{n< /sub>) x = 0，可以通过将 AIn 转换为上三角矩阵来求解。 高斯消除 可以做到这一点（尽管您需要跳过每行的归一化步骤）确保前导系数为 1，因为整数不是字段）。快速浏览上述项目并没有发现对行梯形转换的支持，这可能意味着我错过了它。无论如何，使用一些辅助类（下面的 RowMajor、RowMajor::iterator、RowWithPivot）来实现并不太难。我什至还没有测试过它是否可以编译，所以将其更多地视为算法的说明，而不是完整的嵌入式解决方案。尽管示例使用函数，但使用类（à la EigenSolver）可能更有意义。}

/* Finds a row with the lowest pivot index in a range of matrix rows.
 * Arguments:
 * - start: the first row to check 
 * - end:   row that ends search range (not included in search)
 * - pivot_i (optional): if a row with pivot index == pivot_i is found, search 
 *     no more. Can speed things up if the pivot index of all rows in the range
 *     have a known lower bound.
 *
 * Returns an iterator p where p->pivot_i = min([start .. end-1]->pivot_i)
 *
 */
template <typename _M>
RowMajor<_M>::iterator 
find_lead_pivot (RowMajor<_M>::iterator start,
                 const RowMajor<_M>::iterator& end,
                 int pivot_i=0) 
{
    RowMajor<_M>::iterator lead=start;
    for (; start != end; ++start) {
        if (start->pivot() <= pivot_i) {
            return start;
        }
        if (start->pivot() < lead->pivot()) {
            lead = start;
        }
    }
    return end;
}

/* Returns a matrix that's the row echelon form of the passed in matrix.
 */
template <typename _M>
_M form_of_echelon(const _M& a) {
    _M a_1 = a-_M::Identity();
    RowMajor<_M> rma_1 = RowMajor<_M>(a_1);
    typedef RowMajor<_M>::iterator RMIter;
    RMIter lead;
    int i=0;

    /*
      Loop invariant: row(i).pivot_i <= row(j).pivot_i, for j st. j>i
     */
    for (RMIter row_i = rma_1.begin(); 
         row_i != rma_1.end() && row_i->pivot() != 0; 
         ++row_i, ++i) 
    {
        lead = find_lead_pivot(row_i, rma_1.end(), i);
        // ensure row(i) has minimal pivot index
        swap(*lead, *row_i);

        // ensure row(j).pivot_i > row(i).pivot_i
        for (RMIter row_j = row_i+1; 
             row_j != rma_1.end(); 
             ++row_j) 
        {
            *row_j = *row_j * row_i->pivot() - *row_i * row_j->pivot();
        }
        /* the best we can do towards true row echelon form is reduce 
         * the leading coefficient by the row's GCD
         */
        // *row_i /= gcd(*row_i);
    }
    return static_cast<_M>(rma_1);
}

/* Converts a matrix to echelon form in-place
 */
template <typename _M>
_M& form_of_echelon(_M& a) {
    a -= _M::Identity();
    RowMajor<_M> rma_1 = RowMajor<_M>(a);
    typedef RowMajor<_M>::iterator RMIter;
    RMIter lead;
    int i=0;

    /*
      Loop invariant: row(i).pivot_i <= row(j).pivot_i, for j st. j>i
     */
    for (RMIter row_i = rma_1.begin(); 
         row_i != rma_1.end() && row_i->pivot() != 0; 
         ++row_i, ++i) 
    {
        lead = find_lead_pivot(row_i, rma_1.end(), i);
        // ensure row(i) has minimal pivot index
        swap(*lead, *row_i);

        for (RMIter row_j = row_i+1; 
             row_j != rma_1.end(); 
             ++row_j) 
        {
            *row_j = *row_j * row_i->pivot() - *row_i * row_j->pivot();
        }
        /* the best we can do towards true row echelon form is reduce 
         * the leading coefficient by the row's GCD
         */
        // *row_i /= gcd(*row_i);
    }
    return a;
}

帮助器类的接口，尚未经过 const 正确性和其他使 C++ 工作所需的细节的审查。

template <typename _M>
class RowWithPivot {
public:
    typedef _M::RowXpr Wrapped;
    typedef _M::Scalar Scalar;

    RowWithPivot(_M& matrix, size_t row);

    Wrapped base();
    operator Wrapped();

    void swap(RowWithPivot& other);

    int cmp(RowWithPivot& other) const;
    bool operator <(RowWithPivot& other) const;

    // returns the index of the first non-zero scalar
    // (best to cache this)
    int pivot_index() const;
    // returns first non-zero scalar, or 0 if none
    Scalar pivot() const;
};

template <typename _M, typename _R = RowWithPivot<_M> >
class RowMajor {
public:
    typedef _R value_type;

    RowMajor(_M& matrix);

    operator _M&();
    _M& base();

    value_type operator[](size_t i);

    class iterator {
    public:
        // standard random access iterator
        ...
    };

    iterator begin();
    iterator end();
};