如何将投影的 3D 矩形转换为 2D 轴对齐矩形

Question

我有一个 3D 矩形的图像（由于投影失真，它不是图像中的矩形）。我知道这个矩形所有角的所有世界坐标和图像坐标。

我需要的是确定该矩形内图像中的点的世界坐标。为此，我需要计算一个变换，将该矩形取消投影为 2D 矩形。

我如何计算该变换？

提前致谢

Answer 1

这是查找保留直线的四边形之间的映射的特殊情况。这些通常称为单应变换。在这里，其中一个四边形是矩形，因此这是一种流行的特殊情况。您可以通过谷歌搜索这些术语（“四元到四元”等）来查找解释和代码，但这里有一些适合您的网站。

透视变换估计

游戏论坛讨论

将四边形图像提取到矩形

投影变形 & ;映射

用于图像变形的投影映射作者：保罗·赫克伯特。

数学不是特别令人愉快，但也不是那么难。您还可以从上述链接之一找到一些代码。

Answer 2

如果我理解正确的话，那么在矩形的投影中有一个 2D 点，并且您知道矩形所有四个角的 3D（世界）和 2D（图像）坐标。目标是找到投影到给定点的（3D，世界）矩形内部唯一点的 3D 坐标。

（对矩形的 3D（世界）坐标和 2D（图像）坐标执行下面的步骤 1-3。）

1. 将矩形的（任何）一个角确定为其“原点”，并将其命名为“A”，我们将其视为向量。
2. 按顺序标记其他顶点 B、C、D，使 C 与 A 对角相对。
3. 计算向量 v=AB 和 w=AD。这些为矩形中的点形成了很好的局部坐标。矩形中的点的形式为 A+rv+sw，其中 r、s 是 [0,1] 范围内的实数。这一事实在世界坐标和图像坐标中都是正确的。在世界坐标中，v 和 w 是正交的，但在图像坐标中，它们不是正交的。没关系。
4. 在图像坐标中，从矩形图像中的点 (x,y) 计算 r 和 s 的值。这可以通过向量方程 (x,y) = A+rv+sw 的线性代数来完成，其中只有 r 和 s 未知。它将归结为 2x2 矩阵方程，您通常可以使用克拉默规则在代码中求解。 （如果所需矩阵的行列式为零，则此步骤将中断。这对应于矩形边缘朝上的情况。在这种情况下，解决方案不是唯一的。如果可能，请特别例外。
5. ） r 和 s 的值从 4 开始，使用向量 A、v、w 计算 A+rv+sw，作为世界坐标。那是矩形上的世界点。