如何在 C++ 中计算列随机矩阵的特征向量

Question

我有一个列随机矩阵 A（n×n 实数，非负矩阵），想要在 C++ 中求解以下方程： Ax=x

我假设我需要找出特征向量 x，其中特征值将必须是 1（对吗？），但我无法在 C++ 中弄清楚它。到目前为止，我已经检查了一些数学库，例如 Seldon、CPPScaLapack、Eigen...其中，Eigen 似乎是一个不错的选择，但我无法理解如何利用它们中的任何一个来求解上面的方程。

你能给我一些建议/代码片段或想法来解决这个方程吗？非常感谢任何帮助。

谢谢。

Answer 1

由于随机矩阵 $M$ 的最大特征向量是统一的，因此您可以通过迭代找到该特征向量（除非您真的不擅长猜测初始值）。

从一些随机选择的初始向量 $v_1$ 开始，其值（概率）总和为 1。将 $M$ 应用于 $v_1$ 以获得 $Mv_1$。现在重新规范化这个新向量$Mv_1$，即除以它的元素之和得到$v_2$。这是一个新的概率向量，它将更接近所需的特征向量（除非您最初的猜测恰好与特征向量正交）。

重复此过程，直到 $v_k$ 接近稳定。根据需要，这应该是一个 $Mv_k = v_k$ 的向量。

Answer 2

另一种方法是计算矩阵减去单位矩阵的核。这可能会或可能不会比 Carl 解释的使用幂迭代更快，具体取决于矩阵的大小和其他特征值。当矩阵变大并且第二个特征值远离 1 时，幂迭代会更好。

这个想法是将 Ax = x 重写为 Ax - x = 0。然后使用 Ix = x，其中 I 表示单位矩阵。因此，Ax - x = 0 相当于 Ax - Ix = 0 或 (AI) x = 0。所以你的特征向量 x 位于 AI 的内核（或零空间）中。

本教程页面介绍了如何使用 Eigen 计算矩阵的核。一些未经测试的代码：

MatrixXf M;
/* initialize M */
FullPivLU<MatrixXf> lu_decomp(M);
VectorXf x = lu_decomp.kernel().col(0);
/* x now contains the vector you want */

您可能会发现内核是空的。这意味着矩阵不是真正随机的，或者您需要调整阈值（请参阅上面链接的页面）。