是否可以使用 Accelerate/LAPACK 求解非方欠/过约束矩阵？

Question

是否可以使用 Accelerate/LAPACK 求解非方欠/过约束矩阵？比如下面两个矩阵。如果任何变量受到约束，它们应该等于 0 而不是无限。

所以在约束条件下：A，D & E 等于 0，而 B、C 和 E 等于 0。 F 等于-1。

在过度约束的情况下，所有变量都将等于 -1。

约束不足：

 ____                        ____
| (A) (B) (C) (D) (E) (F)        |
| -1   0   0   1   0   0   |  0  |
|  1   0   0   0  -1   0   |  0  |
|  0  -1   1   0   0   0   |  0  |
|  0   1   0   0   0  -1   |  0  |
|  0   1   0   0   0   0   | -1  |
|____                        ____|

约束过度：

 ____                        ____
|                                |
| -1   0   0   1   0   0   |  0  |
|  1   0   0   0  -1   0   |  0  |
|  0  -1   1   0   0   0   |  0  |
|  0   1   0   0   0  -1   |  0  |
|  0   1   0   0   0   0   | -1  |
|  0   0   1  -1   0   0   |  0  |
|  1  -1   0   0   0   0   |  0  |
|____                        ____|

Answer 1

是的！

void SolveUnderdeterminedSystem() {

    __CLPK_integer m = 5;
    __CLPK_integer n = 6;
    __CLPK_integer nrhs = 1;
    double A[30] = {
        -1.0,  1.0,  0.0,  0.0,  0.0,
         0.0,  0.0, -1.0,  1.0,  1.0,
         0.0,  0.0,  1.0,  0.0,  0.0,
         1.0,  0.0,  0.0,  0.0,  0.0,
         0.0, -1.0,  0.0,  0.0,  0.0,
         0.0,  0.0,  0.0, -1.0,  0.0
    };
    __CLPK_integer lda = 5;
    double x[6] = { 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0 };
    __CLPK_integer ldb = 6;
    /* Need to allocate at least 2*min(m,n) workspace. */
    double work[12];
    __CLPK_integer workSize = 12;
    __CLPK_integer info;

    dgels_("N", &m, &n, &nrhs, A, &lda, x, &ldb, work, &workSize, &info);

    if (info)
        printf("Could not solve system; dgels exited with error %d\n", info);
    else
        printf("Solution is [%f, %f, %f, %f, %f, %f]\n",
               x[0], x[1], x[2], x[3], x[4], x[5]);
}

相同的例程还将解决最小二乘意义上的超定系统（结果将是残差 ||Ax - b|| 的最小化）。

请注意，dgels_ 假设矩阵具有满秩（即，rank(A) = min(m, n)）。如果不是这种情况，您将需要使用不同的例程 (dgelsd_)，该例程使用 SVD 分解而不是 QR。

您似乎问了很多有关 LAPACK 的问题。非常值得您花时间阅读文档。