在 Mathematica 中使用 NArgMax 与 FindArgMax 进行绘图

Question

我在使用 Plot 绘制复杂的复合函数图时遇到了一些麻烦。

我正在尝试绘制复合函数F[] 的ArgMax。

F[] 涉及多个级别的嵌套复合函数，其中许多涉及 Solve[] 和 Min[] 或 Max[]。

我对 F[] 在我的程序中执行的方式没有任何问题（可能除了它在 Plot 中的呈现方式之外），因此我不会包含定义 F 的冗长代码目前，[] 及其底层更简单的功能。

当我尝试使用

Plot[FindArgMax[F[],{vars}] 时，我的输出得到了非常快的回报，这基本上是正确的，除了我得到的范围一些错误的错误值，它们似乎在绘图的一部分上呈现为不正确的垂直线段。

我已经在发生错误的范围内评估了 F[]，并确认正确的值与下面第二张图片中显示的平滑曲线一致。

Plot[NArgMax[[F[],{vars}], I获得正确的绘图，其中不包括错误/错误的垂直段，但需要相当长的时间。

我无法发布第二个链接，但 NArgMax 图生成与上面相同的图片，但平滑且没有孔和垂直段。

在不深入了解 F[] 的细节的情况下，是否有一种快速简便的方法可以让 FindArgMax 在这里正常工作？基本上，这是 Plot 的一个常见问题，并且有众所周知的修复，或者如果我希望能够，我是否需要花费更多时间来重新编码 F[] 的定义和底层复合函数在我的绘图中使用快速 FindArgMax 命令？

预先感谢论坛新手提供的任何帮助。 :)

编辑：我的程序中麻烦部分的示例代码：

 a = 3000; b = 1/10; cc = 1/10; d = 1;


 G1[x_, y_] := a Log[bx + cc y + d]

 Gx1[x_, y_] := 导数[1, 0][G1][x, y];
Gy1[x_, y_] := 导数[0, 1][G1][x, y];

 piPP1 = {y, x};

 c1ycrit0[fy_, mu1_] := 
 最大[0，展平[
     求解[Gy1[x, y] == fy mu1 && piPP1[1] == piPP1[[2]], y, 
      x]][1][[2]]]

 c1xcrit1[fx_, fy_, mu1_] := 最大[安静[
   展平[
      求解[Gx1[x, 
         展平[求解[piPP1[1] == piPP1[[2]], y]] [1][[2]]] == 
        mu1 fx, x]][1][[2]]], 
  安静[压平[
      求解[Gx1[x, 
         最大[0，展平[
             求解[Gy1[x, y] == fy*mu1 && piPP1[1] == piPP1[[2]], y,
               x]][1][[2]]]] == mu1 fx, x] ]][1][[2]]]

 c1xcrit2[fx_、fy_、mu1_、T1_ ] := 
 最大[安静[
   展平[求解[T1 == x fx + fy c1ycrit0[fy, mu1] , x, 
       y]][1][[2]]], 
  安静[压平[
      求解[{piPP1[1] == piPP1[[2]], T1 == x fx + fy piPP1[[2]]}, x,
        y]][1][[2]]]]

操纵[
 安静[绘图[(fx - xc) 最大[0, 
     最小值[c1xcrit1[fx, fy, mu1], c1xcrit2[fx, fy, mu1, T1]]], {fx, 0, 
    fxMax}，PlotRange -> {{0, fxMax}, {0, xPTmax}}]],
 {{mu1, 10, 下标[Mu, 1]}, 0, 100}, {{xc, 3}, 0, 
  100}, {{fy, 10}, 0, 100}, {{T1, 100}, 0, 1000}, {{fxMax, 50}, 0, 
  100}, {{xPTmax, 100}, 0, 400}, 连续动作 ->无]

 BRX[fy_, xc_, mu1_, T1_] := 
 安静[FindArgMax[(fx - 
      xc) (Min[{c1xcrit1[fx, fy, mu1], 
       c1xcrit2[fx, fy, mu1, T1]}]), {fx, xc}]]

 BRX1[fy_, xc_, mu1_, T1_] := 
 安静[NArgMax[(fx - 
      xc) (Min[{c1xcrit1[fx, fy, mu1], c1xcrit2[fx, fy, mu1, T1]}]), 
   fx]]

操纵[
 xBR = 绘图[BRX[fy, xc, mu1, T1], {fy, 0, hmax}, 
   绘图范围 -> {{0, hmax}, {0, hmax}}], {{mu1, 10, 
   下标[Mu, 1]}, 0, 100}, {{xc, 3}, 0, 10}, {{T1, 100}, 0, 
  1000}, {{hmax, 40}, 0, 100}, 连续动作 ->无]

操纵[
 xBR1 = 绘图[BRX1[fy, xc, mu1, T1], {fy, 0, hmax}, 
   绘图范围 -> {{0, hmax}, {0, hmax}}], {{mu1, 10, 
   下标[Mu, 1]}, 0, 100}, {{xc, 3}, 0, 10}, {{T1, 100}, 0, 
  1000}, {{hmax, 40}, 0, 100}, 连续动作 ->没有任何]

进一步编辑：更改 BRX[] 函数中求解“fx”的起点“xc”会极大地改变绘图的结果，这使我相信我不太可能在以下位置有效地使用 FindArgMax全部。我认为由于基础函数中的所有最小值和最大值，导数都有点太复杂了。我仍然希望这里有一个修复程序可以使用 FindArgMax，但在尝试了到目前为止建议的一些事情后，我不太乐观。

再次感谢大家迄今为止的帮助！ :)

Answer 1

相关答案（原始内容见下文）

查看您的代码，问题实际上是关于理解 Mathematica 中的延迟/立即评估。例如，与您的第一个 Manipulate 相比，观察以下渲染效果如何。

Manipulate[
 Plot[Evaluate[(fx - xc) Max[0, 
     Min[c1xcrit1[fx, fy, mu1], c1xcrit2[fx, fy, mu1, T1]]]], {fx, 0, 
   fxMax}, PlotRange -> {{0, fxMax}, {0, xPTmax}}], {{mu1, 10, 
   Subscript[Mu, 1]}, 0, 100}, {{xc, 3}, 0, 100}, {{fy, 10}, 0, 
  100}, {{T1, 100}, 0, 1000}, {{fxMax, 50}, 0, 100}, {{xPTmax, 100}, 
  0, 400}]

如您所见，唯一的区别是 Evaluate ，它将表达式计算为一劳永逸地绘制，而不是每次需要新绘图时都进行所有符号数学计算。我怀疑一旦修复了错误，以与其他图类似的方式添加 Evaluate 就能解决问题。

如果您想了解如何对上述内容进行编码，这里有一些学习点：

• 了解 Rule (->) 和 ReplaceAll (./)：不应使用 Flatten[{{y->x+2}}[[1]][[2]]，而应使用 <代码>y/.First[{{y-> x+2}}]。
• 放下安静。所有的人。现在！ ;) 真的——除非你完全确定自己在做什么，Quiet 只会向你隐藏你的错误。
• 了解 Set (=) 与 SetDelayed (:=)。作为示例，请参阅下面我将如何实现您的 c1xcrit1：使用 = 而不是 := 意味着所有符号数学都已完成< em>定义 x1xcrit1 时一次，而不是每次评估时。

我希望这会有所帮助 - 但实际上，如果您想使用 Mathematica，您应该找到一个教程或其他东西来教您基础知识。

c1xcrit1[fx_, fy_, mu1_] = With[{
   y1 = y /. First@Solve[piPP1[[1]] == piPP1[[2]], y], 
   y2 = y /. First@Solve[Gy1[x, y] == fy*mu1 && piPP1[[1]] == piPP1[[2]], y, x]
   },Max[
     x /. First@Solve[Gx1[x, y1] == mu1 fx, x], 
     x /. First@Solve[Gx1[x, y2] == mu1 fx, x]]]

原始答案

您要比较的两个函数使用非常不同的算法：FindArgMax 是 FindMaximum 的便捷前端，而 NArgMax 是一个前端结束于NMaximize。比较两个函数

• FindMaximum/FindArgMax 的可用方法：ConjugateGradient、PrincipalAxis、LevenbergMarquardt、Newton 和 QuasiNewton（所有微分方法）、
• NArgMax /NMaximize：NelderMead、DifferentialEvolution、SimulatedAnnealing 和 RandomSearch（所有逐点方法）。

换句话说：使用 FindMaximum 或 FindArgMax 来获得很好的函数，其中导数会产生有用的信息。对于讨厌的函数，请使用 NArgMax/NMaximize。

由于 FindArgMax 几乎可以工作，我假设你的函数很好。
对于微分方法，首先象征性地进行演化，试图建立梯度的解析表达式。引用文档：“FindArgMax 首先本地化所有变量的值，然后用符号变量评估 f，然后重复以数值方式评估结果。”

听起来你的 F 足够复杂，符号评估不会去任何地方。如果是这种情况，则通过换行来防止符号求值。此外，同时添加缓存很少有坏处：

Fnum[args__/;And@@(NumericQ/@{args})]:=Fnum[args]=F[args]

您可能认为这会像 NArgMax 一样慢，但在许多情况下，您会发现 QuasiNewton 算法在构建估计方面非常出色它需要的衍生品。

鉴于我们不知道您的F，这当然完全是猜测——但我希望它能有所帮助。