如何计算中轴？

发布于 2024-10-01 05:32:13 字数 509 浏览 6 评论 0原文

有谁知道如何计算两条给定曲线的中轴？

中轴： http://en.wikipedia.org/wiki/Medial_axis

这是形状我需要计算它： alt text

我自己画了中轴，即深黑线，但我需要能够动态计算它。

这是我迄今为止所做的小程序和代码： http://www.prism.gatech.edu/~jstrauss6/3451/sample /

已知变量有： - 点A、B、C、D - 红色、绿色和黑色圆圈的半径 -pt Q 和 R（就在图片外面），黑色圆圈。

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空城之時有危險 2024-10-08 05:32:13

令C1 和C2 为半径为r1 和r2 的圆心。由两个圆组成的图形的中轴（减去两个中心点）是满足的点M的集合

|M - C1| - r1 = |M - C2| - r2

，这意味着

|M - C1| - |M - C2| = r1 - r2
|M - C1|^2 + |M - C2|^2 - (r1 - r2)^2 = 2 * |M - C1||M - C2|
(|M - C1|^2 + |M - C2|^2 - (r1 - r2)^2)^2 = 4 * |M - C1|^2 |M - C2|^2  (**)

中轴是四次代数曲线。

假设 C1 和 C2 在 y 轴上，并假设点 (0,0) 位于中轴上（因此 C1 = ( 0, -r1 - x) 和 C2 = (0, r2 + x) 对于某些 x，您可以根据数据计算）。这是你随时可以转变的东西。

现在，您需要参数化中轴的曲线 y = f(x)。为此，选择您选择的 x，并使用牛顿法求解 y 中的方程 (**)，初始猜测为 y = 0 。这是一个可以精确计算的多项式及其导数（在 y 中）。

Let C1 and C2 be centers of circles with radii r1 and r2. The medial axis (minus the two center points) of the figure made of the two circles is the set of points M satisfying

|M - C1| - r1 = |M - C2| - r2

which implies

|M - C1| - |M - C2| = r1 - r2
|M - C1|^2 + |M - C2|^2 - (r1 - r2)^2 = 2 * |M - C1||M - C2|
(|M - C1|^2 + |M - C2|^2 - (r1 - r2)^2)^2 = 4 * |M - C1|^2 |M - C2|^2  (**)

so the medial axis is a fourth degree algebraic curve.

Let us say that C1 and C2 are on the y axis, and suppose that the point (0,0) lies on the medial axis (so C1 = (0, -r1 - x) and C2 = (0, r2 + x) for some x you can compute from your data). This is something you can always transform into.

Now, you want the curve y = f(x) which parametrizes the median axis. For this, pick the x of your choice, and solve equation (**) in y with Newton's method, with initial guess y = 0. This is a polynomial you can compute exactly, as well as its derivative (in y).

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