使用两个浮点数进行双除法？

Question

我想使用两个浮点数进行双除法（看来直接计算不支持双除法）。

这可能吗？

这是我到目前为止所尝试的（c#代码，应该是HLSL）：

int count = 7;
double value = 0.0073812398871474;
float f1 = (float)value;
float f2 = (float)((value - f1));
float r1 = f1 / count;
float r2 = f2 / count;
double result = (double)r1 + (double)r2;

0,00105446285765182（结果）

0,00105446284102106（正确的结果）

它与f1中的舍入有关。如果值为：

 double value = 0.0073812344471474;

那么结果是正确的。

Answer 1

使用浮点除法计算计数的倒数，然后使用牛顿-拉夫森倒数公式将精度提高到全双精度。

int count = 7;
double value = 0.0073812398871474;
double r = (double) (1.0f / count); // approximate reciprocal
r = r * (2.0 - count*r); // much better approximation
r = r * (2.0 - count*r); // should be full double precision by now.
double result = value * r;

Answer 2

显然你并不能立即清楚你的算术错误。让我把它拼出来。

假设 double 有两部分，大部分和小部分，每个部分大约有 32 位精度。 （这并不完全是双打的工作方式，但它可以满足我们的目的。）

浮点数只有一个部分。

想象一下，我们一次执行 32 位，但将所有内容保持为双精度：

double divisor = whatever;
double dividend = dividendbig + dividendlittle;
double bigquotient = dividendbig / divisor;

什么是 bigquotient？这是一个双。所以它有两个部分。 bigquotient 等于 bigquotientbig + bigquotientlittle。继续：

double littlequotient = dividendlittle / divisor;

同样，littlequotient 是littlequotientbig + Littlequotientlittle。现在我们将商相加：

double quotient = bigquotient + littlequotient;

我们如何计算呢？商有两部分。 quotientbig 将设置为 bigquotientbig。 quotientlittle 将设置为 bigquotientlittle + Littlequotientbig。小商小被丢弃。

现在假设您在浮动中执行此操作。你有：

float f1 = dividendbig;
float f2 = dividendlittle;
float r1 = f1 / divisor;

好的，r1 是什么？这是一个漂浮物。所以它只有一部分。 r1 是大商大。

float r2 = f2 / divisor;

r2是什么？这是一个漂浮物。所以它只有一个部分。 r2 是小商大。

double result = (double)r1 + (double)r2;

将它们加在一起，就得到 bigquotientbig + Littlequotientbig。 bigquotientlittle 发生了什么？您已经丢失了 32 位精度，因此一路上出现 32 位不准确也就不足为奇了。 您根本没有想出用 32 位近似 64 位算术的正确算法。

为了计算 (big + Little)/divisor，您不能只需执行（大/除数）+（小/除数）。当您在每个除法期间舍入时，这条代数规则并不适用！

现在清楚了吗？

Answer 3

这可能吗？

是的，只要您：

• 接受不可避免的精度损失
• 请记住，并非所有双精度数都适合浮点数

---

更新

阅读您的评论后（双精度是必需的），我更新的答案是：

不。

Answer 4

这样的东西怎么样？

那么像
结果 = 值 * (double)(1f / (float)count);

？

在那里你只划分两个浮点数。我的演员阵容比需要的要多，但重要的是这个概念。

编辑：
好吧，你担心实际值和四舍五入值之间的差异，对吗？所以只要一遍又一遍地做，直到你做对为止！

double result = 0;
double difference = value;
double total = 0;
float f1 = 0;
while (difference != 0)
{
    f1 = (float)difference;
    total += f1;
    difference = value - total;
    result += (double)(f1 / count);
}

...但你知道，简单的答案仍然是“不”。这仍然没有捕获所有舍入错误。根据我的测试，它最多将误差降低到 1e-17，大约 30% 的时间。

Answer 5

在评论中，您说：

当然不能有任何损失
的精度。这就是我使用的原因
两个浮标。如果我愿意接受损失
精度，那么我可以投两个
浮动并进行除法。

IEEE-754 单精度值有 24 个有效二进制数字。 双精度值有 53 位有效数字。您甚至无法将双精度值表示为两个单精度值而不损失精度，更不用说使用这种表示进行算术了。

也就是说，仅使用双精度和单精度之间的转换、双精度减法/加法以及单精度运算来进行正确舍入的双精度除法是有可能的，但如果您确实想要这样做，则相当复杂没错。您是否需要实际的 IEEE-754 正确舍入，或者只是一个直到最后一两位都正确的答案？