如何计算距离圆周上一点固定弧长的 (x,y)

Question

我在这上面花了很多时间，我能感觉到我的理智正在慢慢下降。因此，任何帮助都将非常感激。 我会尝试尽可能简洁。

我在二维平面上有一个圆。我知道它的中心点（C）和半径（R）的笛卡尔坐标。

我的困惑源于这个问题。当在圆外平面上设有一点时；我可以计算圆的圆周上最接近该点的点（P）。

我想要做的是确定圆周上 2 个点的 (x,y) 坐标。我们称它们为 P1 和 P2。 P1和P2是圆弧的两端。弧具有固定长度(X)。 P是P1和P2之间的中点。这样，从P到P1的弧长& P至P2均为X/2。

简而言之： 给定 C、R、P、X ；我需要计算P1和P2。

我正在尝试用 C++ 编写此代码，但任何建议或伪代码都会很棒。

编辑： X 是弧长，不是 P1 和 P2 之间的直线

Answer 1

在圆上，角度 theta 对应于 theta * R 的弧长，这意味着您的弧将面对 theta = X / R 的角度>。 ，如果从你的观点开始

P = C + R * (sin(u), cos(u))

，那么只需按 theta/2 向上/向下：

P1 = C + R * (sin(u + theta/2), cos(u + theta/2))

因此

P2 = C + R * (sin(u - theta/2), cos(u - theta/2))

Answer 2

所对角度为 θ（以弧度表示）的弧的弧长为 θR。因此，您需要半角 θ = X/(2R)。然后，您需要获取向量 (P -C)，将其旋转 ±θ 角度，然后添加回 C 以获得 P1 和 P2。要将矢量旋转一定角度，请将其乘以旋转矩阵。

因此，在伪代码中，它看起来像这样：

θ = X/(2R)
A = 2x2 rotation matrix corresponding to a rotation by θ radians
A' = transpose of A
P1 = C + A * (P - C)
P2 = C - A' * (P - C)

Answer 3

有一些事情可以提供帮助。不会编写代码，但我想解决方案将基于三角形。考虑：

任何半径都具有相同的长度。

因此，从 P1-P1-C 绘制的三角形是等腰三角形。

任何切线都垂直于半径。

我现在很难证明这一点，但如果你将线从 C 延伸到 P1/P2 到与圆相交于 C->P 的切线，也会形成等腰。

从那里应该很容易弄清楚。