在旋转矩阵之间进行插值

Question

我有两个描述任意旋转的旋转矩阵。 （4x4 opengl 兼容）

现在我想在它们之间进行插值，以便它遵循从一个旋转到另一个旋转的径向路径。想象一下三脚架上的相机朝一个方向看然后旋转。

如果我对每个分量进行插值，我会得到一个挤压结果，所以我认为我只需要对矩阵的某些分量进行插值。但哪些呢？

Answer 1

您必须对矩阵的旋转部分使用 SLERP，对其他部分使用线性。最好的方法是将矩阵转换为四元数并使用（更简单的）四元数 SLERP：http://en .wikipedia.org/wiki/Slerp。

我建议阅读 Graphic Gems II 或 III，特别是有关将矩阵分解为更简单的变换的部分。以下是 Spencer W. Thomas 的本章来源：

http://tog.acm .org/resources/GraphicsGems/gemsii/unmatrix.c

当然，我建议您自己学习如何做到这一点。其实没那么难，只是有很多烦人的代数。最后，这里有一篇关于如何通过 Id 软件将矩阵转换为四元数并转换回来的精彩论文：http://www.mrelusive.com/publications/papers/SIMD-From-Quaternion-to-Matrix-and-Back.pdf

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<编辑：这是几乎每个人都引用的公式，它来自 1985 年的 SIGGRAPH 论文。

位置：

- qm = interpolated quaternion
- qa = quaternion a (first quaternion to be interpolated between)
- qb = quaternion b (second quaternion to be interpolated between)
- t = a scalar between 0.0 (at qa) and 1.0 (at qb)
- θ is half the angle between qa and qb

代码：

quat slerp(quat qa, quat qb, double t) {
    // quaternion to return
    quat qm = new quat();
    // Calculate angle between them.
    double cosHalfTheta = qa.w * qb.w + qa.x * qb.x + qa.y * qb.y + qa.z * qb.z;
    // if qa=qb or qa=-qb then theta = 0 and we can return qa
    if (abs(cosHalfTheta) >= 1.0){
        qm.w = qa.w;qm.x = qa.x;qm.y = qa.y;qm.z = qa.z;
        return qm;
    }
    // Calculate temporary values.
    double halfTheta = acos(cosHalfTheta);
    double sinHalfTheta = sqrt(1.0 - cosHalfTheta*cosHalfTheta);
    // if theta = 180 degrees then result is not fully defined
    // we could rotate around any axis normal to qa or qb
    if (fabs(sinHalfTheta) < 0.001){ // fabs is floating point absolute
        qm.w = (qa.w * 0.5 + qb.w * 0.5);
        qm.x = (qa.x * 0.5 + qb.x * 0.5);
        qm.y = (qa.y * 0.5 + qb.y * 0.5);
        qm.z = (qa.z * 0.5 + qb.z * 0.5);
        return qm;
    }
    double ratioA = sin((1 - t) * halfTheta) / sinHalfTheta;
    double ratioB = sin(t * halfTheta) / sinHalfTheta; 
    //calculate Quaternion.
    qm.w = (qa.w * ratioA + qb.w * ratioB);
    qm.x = (qa.x * ratioA + qb.x * ratioB);
    qm.y = (qa.y * ratioA + qb.y * ratioB);
    qm.z = (qa.z * ratioA + qb.z * ratioB);
    return qm;
}

来自：http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/slerp/

Answer 2

您需要将矩阵转换为不同的表示形式 - 四元数对此很有效，并且插值四元数是一种明确定义的操作。