逆运动学：计算雅可比行列式

Question

我正在尝试对任意多个链接的串行链进行逆运动学。

在下面的论文中，我找到了一个示例如何计算雅可比矩阵。

Entry (i, j) = v[j] * (s[i] - p[j])

在哪里：

v[j] 是轴的单位向量 关节 j 的旋转

s[i] 是位置 (int world 关节 i 的坐标？）

p[j] 是位置（在世界中 关节 j 的坐标？）

论文指出，如果 j 是具有单自由度的旋转关节，则此方法有效。但我的旋转关节的旋转没有任何限制。那我想要什么公式呢？ （或者我可能误解了“自由度”一词？）

Answer 1

这个问题很老了，但无论如何我都会回答，因为这是我曾经想过但从未真正付诸实施的事情。

不受约束的旋转接头称为球接头或球形接头；他们有 3 个自由度。如果您根据每个具有一个自由度的 3 个旋转（旋转）关节来参数化每个球形关节，则也可以将教程中的公式用于球形关节。

例如：设 N 为球形关节的数量。假设每个关节都有一个局部变换 T_local[i] 和一个世界变换

T_world[i] = T_local[0] * ... * T_local[i]

Let R_world[i][k], k = 0, 1, 2 code> 是 T_world[i] 旋转矩阵的第 k 列。 将 3 * N 关节轴定义为

v[3 * j + 0] = R_world[i][0]
v[3 * j + 1] = R_world[i][1]
v[3 * j + 2] = R_world[i][2]

使用教程中的公式， 计算某些末端执行器 s[i] 的雅可比行列式 J。所有坐标都在世界坐标系中。

例如，使用伪逆方法给出位移dq，该位移dq使末端执行器沿给定方向dx移动。

dq 的长度为 3 * N。定义

R_dq[j] = 
    R_x[dq[3 * j + 0]] *
    R_y[dq[3 * j + 1]] *
    R_z[dq[3 * j + 2]]

为 j = 0, 1, ..., N-1，其中 R_x, R_y, R_z是绕 x-、y- 和 z 轴旋转的变换矩阵。

更新局部变换：

T_local[j] := T_local[j] * R_dq[j]

并从顶部重复以将末端执行器向其他方向dx移动。

Answer 2

让我建议在任意多个自由度的背景下使用雅可比行列式的更简单方法：基本上，雅可比行列式告诉您，如果您沿任意选择的方向移动末端执行器框架，则每个关节移动多远。令 f(θ) 为正向运动学，其中 θ=[θ1,...,θn] 为关节。然后，您可以通过对关节变量的正向运动学求微分来获得雅可比行列式：

J_ij = df_i/dθ_j

是您的机械臂的雅可比行列式。反转它会给你关于速度的逆运动学。不过，如果您想知道每个关节必须移动多远，并且想要在任何方向上将末端执行器移动一些小量 Δx（因为在位置级别上，这实际上是线性化），它仍然很有用：
Δθ=J^-1Δx

希望这有帮助。