在Matlab中使用FFT计算自相关

Question

我读过一些关于如何使用信号的 fft 更有效地计算自相关的解释，将实部乘以复共轭（傅立叶域），然后使用逆 fft，但我在 Matlab 中实现这一点时遇到困难因为在详细的层面上。

Answer 1

就像您所说的那样，采用 fft 并逐点乘以其复共轭，然后使用逆 fft （或者在两个信号互相关的情况下：Corr(x,y) <=> FFT( x)FFT(y)*)

x = rand(100,1);
len = length(x);

%# autocorrelation
nfft = 2^nextpow2(2*len-1);
r = ifft( fft(x,nfft) .* conj(fft(x,nfft)) );

%# rearrange and keep values corresponding to lags: -(len-1):+(len-1)
r = [r(end-len+2:end) ; r(1:len)];

%# compare with MATLAB's XCORR output
all( (xcorr(x)-r) < 1e-10 )

事实上，如果你看一下xcorr.m的代码，这正是它所做的（只是它必须处理所有填充的情况） 、归一化、向量/矩阵输入等...）

Answer 2

根据维纳-辛钦定理，函数的功率谱密度 (PSD) 为自相关的傅里​​叶变换。对于确定性信号，PSD 只是傅里叶变换的幅度平方。另请参阅卷积定理。

当涉及离散傅立叶变换（即使用 FFT）时，您实际上得到了循环自相关。为了获得正确的（线性）自相关，在进行傅立叶变换之前，必须将原始数据零填充到其原始长度的两倍。所以像这样：

x = [ ... ];
x_pad = [x zeros(size(x))];
X     = fft(x_pad);
X_psd = abs(X).^2;
r_xx = ifft(X_psd);