Mathematica：以极坐标形式显示复数

Question

我想以三角函数形式显示复数。例如：

z = (-4)^(1/4);

我不确定该命令是什么，而且写起来很愚蠢：

我想，该命令是 ExpToTrig，但解决方案不可能只是 1+i （或者可以，但我误用了它？）。如何以三角函数形式显示复数。

编辑：

命令是 ExpToTrig，它只是没有给出所有解决方案（或者我无法找出如何解决）。终于通过编写纯函数 NrootZpolar[n][z] 解决了我的问题：

NrootZpolar := 
 Function[x, 
  Function[y, 
       ( Abs[y] ^ (1/x) *
       ( Cos[((Arg[y] + 360° * Range[0, x - 1]) / x)] + 
       I*Sin[((Arg[y] + 360° * Range[0, x - 1]) / x)]))
  ]
 ]

并使用：

In[689]:= FullSimplify[NrootZpolar1[4][-4]]
Out[689]= {1 + I, -1 + I, -1 - I, 1 - I}

可视化：

ComplexListPlot[list_] := ListPlot[Transpose[{Re[list], Im[list]}], AxesLabel -> {Re, Im}, PlotLabel -> list, PlotMarkers -> Automatic]
Manipulate[ComplexListPlot[FullSimplify[NrootZpolar1[n][z]]], {z, -10, 10}, {n, 1, 20}]

Answer 1

您可以用极坐标形式 r(cos theta + i sin theta) 表示复数 z，其中 r = Abs[z] 且 theta = Arg[z]。因此，您需要的唯一 Mathematica 命令是 Abs[] 和 Arg[]。

Answer 2

如果您只需要偶尔这样做，那么您可以定义一个类似的函数

In[1]:= ComplexToPolar[z_] /; z \[Element] Complexes := Abs[z] Exp[I Arg[z]]

，

In[2]:= z = (-4)^(1/4);
In[3]:= ComplexToPolar[z]
Out[3]= Sqrt[2] E^((I \[Pi])/4)

In[4]:= ComplexToPolar[z] == z // FullSimplify
Out[4]= True

以便扩展函数（不是您问题的一部分），您使用

In[5]:= ComplexExpand[, TargetFunctions -> {Abs, Arg}]

最后，如果您总是希望以极坐标形式编写复数，则类似

In[6]:= Unprotect[Complex];
In[7]:= Complex /: MakeBoxes[Complex[a_, b_], StandardForm] := 
 With[{abs = Abs[Complex[a, b]], arg = Arg[Complex[a, b]]}, 
  RowBox[{MakeBoxes[abs, StandardForm], 
    SuperscriptBox["\[ExponentialE]", 
      RowBox[{"\[ImaginaryI]", MakeBoxes[arg, StandardForm]}]]}]]

将使转换自动进行

In[8]:= 1 + I
Out[8]= Sqrt[2]*E^(I*(Pi/4))

请注意，这仅适用于显式复数 - 即具有 FullForm 为 Complex[a,b] 的数字。除非您对其使用类似 Simpify 的内容，否则它将在上面定义的 z 上失败。

Answer 3

从数学上来说，(-1)^(1/4) 是对符号的滥用。没有这样的数字。

您使用该令人厌恶的内容（:)）表达的是方程的根：

z^4 == 1  

在 Mathematica 中（就像一般的数学一样）使用弧度比使用角度更方便。以弧度表示，您可以定义例如

 f[z1_,n_] := Abs[z] (Cos[Arg[z]] + I Sin[Arg[z]]) /.Solve[z^n+z1 == 0, z,Complex]

或

g[z1_,n_] := Abs[z] (Exp [I Arg[z]]) /.Solve[z^n+z1 == 0, z,Complex]  

根据您的符号偏好（三角或指数......但最后一个是首选）。

要获取所需的 (-4)^(1/5) 表达式，只需键入

g[4,5] or f[4,5]