查找协方差矩阵的特征向量以创建 3D 边界球

Question

我目前正在编写一个函数来为 3D 空间中的一组点找到“精确”的边界球。我想到目前为止我对这个过程已经有了很好的理解，但我陷入了困境。

这是我正在处理的内容： A) 3D 空间中的点 B）存储在 4x4 矩阵类中的 3x3 协方差矩阵（由单元格 m0、m1、m2、m3、m4 等引用；而不是行和列）

我找到了点的协方差矩阵的 3 个特征值，并且我我们已经设置了一个函数，通过高斯消元法将矩阵转换为简化行梯形形式 (rref)。

我已经根据我在网上找到的示例中的数字测试了这两个函数，它们似乎工作正常。

下一步是使用以下方程找到特征向量： (M - λ*I)*V

... 其中 M 是协方差矩阵，λ 是特征值之一，I 是单位矩阵，V 是特征向量。

但是，在 rref 之前我似乎没有正确构建 4x3 矩阵，因为应计算特征向量分量的最右列在运行 rref 之前和之后均为 0。我理解为什么它们之后为零（没有任何常数，线性方程组的最简单的解决方案是所有系数为零），但我不知道该放什么。

到目前为止的函数如下：

Vect eigenVector(const Matrix &M, const float eval) {
   Matrix A = Matrix(M);
   A -= Matrix(IDENTITY)*eval;
   A.rref();
   return Vect(A[m3],A[m7],A[m11]);
}

3x3 协方差矩阵作为 M 传递，特征值作为 eval 传递。 Matrix(IDENTITY) 返回单位矩阵。 m3、m7 和 m11 对应于 4x3 矩阵的最右列。

这是我用来测试函数的 3x3 矩阵示例（存储在 4x4 矩阵类中）：

Matrix(1.5f, 0.5f, 0.75f, 0,
       0.5f, 0.5f, 0.25f, 0,
      0.75f, 0.25f, 0.5f, 0,
          0,     0,    0, 0);

我正确地（？）从我的其他函数中获取了 2.097、0.3055、0.09756 的特征值。

上面的 eigenVector() 正确地从 rref() 之后的对角线 (0,0 1,1 2,2)

矩阵 A 中减去传递的特征值：

[(1, 0, 0, -0),
(-0, 1, 0, -0),
(-0, -0, 1, -0),
(0, 0, 0, -2.09694)]

对于 rref() 函数，我使用的是此处找到的翻译后的 python 函数： http://elonen.iki.fi/code/misc-notes /python-gaussj/index.html

我传递给 rref() 的矩阵应该是什么样子才能得到特征向量？

谢谢

Answer 1

(M - λI)V 不是一个方程，它只是一个表达式。然而，(M - λI)V = 0 是。这是将特征向量与特征值联系起来的方程。

因此，假设您的 rref 函数有效，我会想象您创建一个增广矩阵作为 [(M - λI) | 0]，其中 0 表示零向量。这听起来像是您已经在做的事情，所以我不得不假设您的 rref 函数已损坏。或者，它不知道如何处理 4x4 矩阵（与 4x3 矩阵相反，这是它所期望的增广矩阵）。

Answer 2

啊，经过几个小时的艰苦研究，我终于解决了我的问题。

问题在于，不存在“一个”特征向量集，而是具有不同大小的无限数量。

我选择的方法是使用 REF（行阶梯形）而不是 RREF，在矩阵中留下足够的信息，以便我可以用任意值替换 z，并向后求解 y 和 x。然后，我对向量进行归一化以获得单位特征向量，这应该适合我的目的。

我的最终代码：

Vect eigenVector(const Matrix &M, const float eVal) {
   Matrix A = Matrix(M);
   A -= Matrix(IDENTITY)*eVal;
   A.ref();
   float K = 16; // Arbitrary value
   float J = -K*A[m6]; // Substitute in K to find J
   float I = -K*A[m2]-J*A[m1]; // Substitute in K and J to find I

   Vect eVec = Vect(I,J,K);
   eVec.norm(); // Normalize eigenvector

   return eVec;
}

唯一奇怪的是特征向量的方向与我预期的相反（它们被否定了！），但这是一个没有实际意义的问题。