找到满足不等式约束的离散对 {x,y}

Question

我有一些关于 {x,y} 的不等式，满足以下方程：

x>=0
y>=0
f(x,y)=x^2+y^2>=100
g(x,y)=x^2+y^2<=200

请注意，x 和 y 必须是整数.

图形上可以表示如下，蓝色区域是满足上述不等式的区域：

现在的问题是，Matlab 中是否有函数可以找到所有可接受的 {x,y} 对？如果有一种算法可以做这种事情，我也很高兴听到它。

当然，我们总是可以使用的一种方法是暴力方法，我们测试 {x,y} 的每种可能的组合，看看是否满足不等式。但这是最后的手段，因为它很耗时。我正在寻找一种巧妙的算法来完成此任务，或者在最好的情况下，寻找一个可以立即使用的现有库。

x^2+y^2>=100 和 x^2+y^2<=200 只是示例；实际上，f 和 g 可以是任意次数的任意多项式函数。

编辑：也欢迎 C# 代码。

Answer 1

对于一般的多项式不等式集，通过枚举搜索以外的任何方法，这当然是不可能的，即使存在有限数量的解。 （也许我应该说这不是微不足道的，因为这是可能的。枚举搜索将起作用，但会受到浮点问题的影响。）请注意，对于高阶不等式，感兴趣的域不需要简单地连接。

编辑：OP 询问如何进行搜索。

问题

x^3 + y^3 >= 1e12
x^4 + y^4 <= 1e16

x >= 0, y >= 0

考虑解决该系统的所有整数解的 。请注意，任何形式的整数规划在这里都不够，因为需要所有整数解决方案。

此处使用网格网格将迫使我们查看域 (0:10000)X(0:10000) 中的点。因此，这将迫使我们对一组 1e8 个点进行采样，测试每个点以查看它们是否满足约束条件。

一个简单的循环可能比这更有效，尽管它仍然需要一些努力。

% Note that I will store these in a cell array,
% since I cannot preallocate the results.
tic
xmax = 10000;
xy = cell(1,xmax);
for x = 0:xmax
  % solve for y, given x. This requires us to
  % solve for those values of y such that
  %   y^3 >= 1e12 - x.^3
  %   y^4 <= 1e16 - x.^4
  % These are simple expressions to solve for.
  y = ceil((1e12 - x.^3).^(1/3)):floor((1e16 - x.^4).^0.25);
  n = numel(y);
  if n > 0
    xy{x+1} = [repmat(x,1,n);y];
  end
end
% flatten the cell array
xy = cell2mat(xy);
toc

所需的时间是...

Elapsed time is 0.600419 seconds.

在我们可能测试过的 100020001 个组合中，我们找到了多少个解决方案？

size(xy)
ans =
           2     4371264

诚然，穷举搜索写起来更简单。

tic
[x,y] = meshgrid(0:10000);
k = (x.^3 + y.^3 >= 1e12) & (x.^4 + y.^4 <= 1e16);
xy = [x(k),y(k)];
toc

我在 64 位机器上运行这个程序，有 8 GB 内存。但即便如此，测试本身仍然非常消耗 CPU。

Elapsed time is 50.182385 seconds.

请注意，浮点考虑有时会导致找到不同数量的点，具体取决于计算的完成方式。

最后，如果您的约束方程更复杂，您可能需要在 y 上的边界表达式中使用根，以帮助确定满足约束的位置。这里的好处是它仍然适用于更复杂的多项式界限。