在 Mathematica 中使用插值函数进行卷积

Question

我正在使用 Mathematica 7。

我有一个插值函数，这里有一个例子：

pressures = 
  WeatherData["Chicago", "Pressure", {2010, 8}] // 
     DeleteCases[#, {_, _Missing}] & // 
    Map[{AbsoluteTime[#[[1]]], #[[2]]} &, #] & // Interpolation;

我想计算它的导数，这很简单：

dpressures = D[pressures[x], x]

现在，如果你绘制这个函数

Plot[3600*dpressures, {x, AbsoluteTime[{2010, 8, 2}], AbsoluteTime[{2010, 8, 30}]}]

（抱歉，不知道如何发布图像来自 Mathematica 内部，并且没有时间去弄清楚。）您会发现它非常嘈杂。所以，我想把它弄平。我的第一个想法是使用 Convolve，并将其与高斯核集成，如下所示：

a = Convolve[PDF[NormalDistribution[0, 5], x], 3600*dpressures, x, y]

Returns

360 Sqrt[2/\[Pi]] Convolve[E^(-(x^2/50)), InterpolatingFunction[{{3.48961266 10^9, 3.49228746 10^9}},<>], ][x], x, y]

这对我来说看起来很合理。不幸的是，我相信我在某个地方犯了错误，因为我得到的结果似乎无法评估。那就是：

a /. y -> AbsoluteTime[{2010, 8, 2}]

Returns

360 Sqrt[2/\[Pi]] Convolve[E^(-(x^2/50)), InterpolatingFunction[{{3.48961266 10^9, 3.49228746 10^9}},<>][x], x, 3489696000]]

这不是我想要的，我期待一个 -1 到 1 之间的数字。

Answer 1

卷积寻求卷积的闭合形式。您可以尝试数值卷积，从类似的内容开始

NConvolve[f_, g_, x_, y_?NumericQ] := 
 NIntegrate[f (g /. x -> y - x), {x, -Infinity, Infinity}]

。但是，对于这个嘈杂的非平滑函数，数值积分将很困难。 （它无法使用默认设置，并且即使仔细选择设置也会很慢。）

我建议您直接对基础数据进行操作，而不是对噪声数据进行插值。

时间范围的界限：

In[89]:= {lower = Min[First[pressures]], upper = Max[First[pressures]]}    
Out[89]= {3.48961*10^9, 3.49229*10^9}

使用插值每小时获取样本*：

data = Table[pressures[x], {x, lower, upper, 3600}];

现在

ListLinePlot[Differences[data]]

与 5 小时窗口内的平滑版本进行比较：

ListLinePlot[GaussianFilter[Differences[data], 5]]

• 您可能需要使用 InterpolationOrder -> 1 对于噪声数据。