分形解释

Question

一段时间以来，我对分形、它们背后的数学以及它们可以产生的视觉效果很感兴趣。

我只是无法真正弄清楚如何将数学公式映射到绘制图片的一段代码。
给定曼德尔布罗集合的公式：Pc(z) = z * z + c
与以下代码相比如何：

$outer_adder = ($MaxIm - $MinIm) / $Lines;
$inner_adder = ($MaxRe - $MinRe) / $Cols;
for($Im = $MinIm; $Im <= $MaxIm; $Im += $outer_adder)
{
  $x=0;
  for($Re = $MinRe; $Re <= $MaxRe; $Re += $inner_adder)
  {
    $zr = $Re;
    $zi = $Im;
    for($n = 0; $n < $MaxIter; ++$n)
    {
      $a = $zr * $zr;
      $b = $zi * $zi;
      if($a + $b > 2) break;
      $zi = 2 * $zr * $zi + $Im;
      $zr = $a - $b + $Re;
    }
    $n = ($n >= $MaxIter ? $MaxIter - 1 : $n);
    ImageFilledRectangle($img, $x, $y, $x, $y, $c[$n]);
    ++$x;
  }
  ++$y;
}

代码不完整，为了简洁起见，仅显示了主要迭代部分。

所以问题是：有人可以向我解释一下数学与代码的比较吗？

编辑：需要明确的是，我找到了数十种解释数学的资源，以及数十种显示代码的资源，但我找不到将两者结合在一起的良好解释。

Answer 1

免责声明。我以前对分形一无所知，但一直想知道，所以我阅读了 wikipedia 文章< /a> 并决定写下我在这里找到的内容。
正如他们所说，如果你想理解某件事，请尝试向别人解释它。 ;)

好的，我们要对复数进行运算。复数实际上是一对（实数）数字，因此，对于我们 PHP 程序员来说，让它成为一个双元素数组。

    /// Construct a complex number from two reals
    function cpl($re, $im) {
        return array($re, $im);
    }

现在我们需要告诉 php 如何对我们的复数进行算术运算。我们需要加法、乘法和 mod（“范数”）运算符。 （请参阅 http://mathworld.wolfram.com/topics/ComplexNumbers.html 了解更多信息细节）。

    /// Add two complex numbers.
    function cadd($p, $q) {
        return cpl(
            $p[0] + $q[0],
            $p[1] + $q[1]);
    }

    /// Multiply two complex numbers.
    function cmul($p, $q) {
        return cpl(
            $p[0] * $q[0] - $p[1] * $q[1],
            $p[0] * $q[1] + $p[1] * $q[0]);
    }

    /// Return the norm of the complex number.
    function cmod($p) {
        return sqrt($p[0] * $p[0] + $p[1] * $p[1]);
    }

现在我们编写一个函数，如果给定（复数）点 $c 属于 mandelbrot 集合，则返回 true

如果所有点 z = z^2 + c<，则点 c 属于该集合/code> 位于半径为 2 的圆内。

• 我们从复数 z = (0, 0) 开始。
• 在每一步中，我们计算 z = z * z + c。
• 如果z的模> 2 - 也就是说，我们超出了圆圈 - 该点不在集合中，
• 否则重复该步骤。

为了防止无限循环，请限制最大迭代次数。

    function is_in_mandelbrot_set($c, $iterations) {
        $z = cpl(0, 0);
        do {
            if(cmod($z) >= 2)
                return false;
            $z = cadd(cmul($z, $z), $c);
        } while($iterations--);
        return true;
    }

其余的与数学无关，相当明显

    function mandelbrot($img, $w, $h) {
        $color = imagecolorallocate($img, 0xFF, 0, 0);
        $zoom = 50;
        $iters = 30;

        for($x = 0; $x < $w; $x++) {
            for($y = 0; $y < $h; $y++) {

                // scale our integer points 
                // to be small real numbers around 0

                $px = ($x - $w / 2) / $zoom;
                $py = ($y - $h / 2) / $zoom;

                $c = cpl($px, $py);

                if(is_in_mandelbrot_set($c, $iters))
                    imagesetpixel($img, $x, $y, $color);
            }
        }

        return $img;
    }

    $w = 200;
    $h = 200;

    header("Content-type: image/png");
    imagepng(
        mandelbrot(
            imagecreatetruecolor($w, $h), $w, $h));

结果

当然，这段代码效率低到了极点。它的唯一目的是理解数学概念。