FFTW：前向 fft 的逆函数不等于原始函数

Question

我正在尝试使用 FFTW 来计算快速求和，但遇到了一个问题：（

int numFreq3 = numFreq*numFreq*numFreq;

FFTW_complex* dummy_sq_fft = (FFTW_complex*)FFTW_malloc( sizeof(FFTW_complex)*numFreq3 );

FFTW_complex* dummy_sq = (FFTW_complex*)FFTW_malloc( sizeof(FFTW_complex)*numFreq3 );

FFTW_complex* orig = (FFTW_complex*)FFTW_malloc( sizeof(FFTW_complex)*numFreq3 );

FFTW_plan dummyPlan = FFTW_plan_dft_3d( numFreq, numFreq, numFreq,
                  orig, dummy_sq_fft,
                  FFTW_FORWARD, FFTW_MEASURE );

FFTW_plan dummyInvPlan = FFTW_plan_dft_3d( numFreq, numFreq, numFreq,
                      dummy_sq_fft, dummy_sq,
                      FFTW_BACKWARD, FFTW_MEASURE );

for(int i= 0; i < numFreq3; i++) {
  orig[ i ][ 0 ] = sparseProfile02[ 0 ][ i ][ 0 ];
  //img. part == 0
  orig[ i ][ 1 ]  = sparseProfile02[ 0 ][ i ] [ 1 ];
}

FFTW_execute(dummyPlan);
FFTW_execute(dummyInvPlan);

int count = 0; 
for(int i=0; i<numFreq3; i++) {
  double factor = dummy_sq[ i ][ 0 ]/sparseProfile02[ 0 ][ i ][ 0 ];

  if(factor < 0) {
    count++;
  }
}

std::cout<<"Count "<<count<<"\n";

FFTW_free(dummy_sq_fft);
FFTW_free(dummy_sq);
FFTW_destroy_plan(dummyPlan);
FFTW_destroy_plan(dummyInvPlan);

这里稀疏Profile02[0] 的类型为 FFTW_complex*，并且仅包含正实数据。）

因为我们有 dummy_sq = IFFT(FFT( SparseProfile02[ 0 ]))，我们必须有 dummy_sq = n^3*sparseProfile02。但这只是在某些时候是正确的。事实上，只要稀疏Profile02 网格上的相应值为零（但反之则不然），dummy_sq 网格上的值就是负数。有谁知道为什么会发生这种情况？

Answer 1

冒着涉足死灵术的风险，您应该在 fftw 文档（此处）中注意到，它明确指出 fftw 不会标准化，因此先前变换信号的逆变换结果将是按“n”缩放的原始信号或信号的长度。

可能是问题所在。

Answer 2

FFT（正向和反向）有舍入误差，我认为这就是困扰您的问题。一般来说，您不应期望零在整个过程中始终保持为零（尽管对于简单的测试用例它可能为零）。在您的测试循环中，

fabs(dummy_sq[i][0] - numFreq*numFreq*numFreq*sparseProfile02[0][i][0])

相对于数据量而言是否很大？

作为一个非常简单（病态）的示例，仅使用实值大小为 2 的 1D FFT：

ifft(fft([1e20, 1.0])) != [2e20, 2.0]

1.0 在双精度 FFT 的 1e20 中丢失。

当您除以稀疏Profile02 中的零样本时，您也可能会得到一些 NaN。