C# 和 F# 中的自动区分

Question

我在 C# 和 F# 之间使用自动微分功能时遇到问题。

在 C# 中，我有一个接受 double 并返回 double 的函数，比如说：

private double Price(double yield)
{
    double price;

    price = 0;

    for (int index = 1; index <= _maturity * _frequency; index++)
    {
        price += (_coupon / _frequency) * _nominal / Math.Pow(1 + (yield / _frequency), index);
    }

    price += _nominal / Math.Pow(1 + (yield / _frequency), _maturity * _frequency);

    return price;
}

我专门选择了这个函数，因为 Math.pow 非常禁止，并且只允许使用 double 或 int 作为其参数。

我想使用自动微分来微分这个函数。我已经在 F# 中编写了该方法：

type Diff(d : double, df : Lazy<Diff>) = class
    member x.d = d
    member x.df = df
    static member (+) (x : Diff, y : Diff) = 
        Diff(x.d + y.d, lazy (x.df.Value + y.df.Value)) 
    static member (-) (x : Diff, y : Diff) = 
        Diff(x.d - y.d, lazy (x.df.Value - y.df.Value))
    static member (*) (x : Diff, a : double) = 
        Diff(x.d * a, lazy (x.df.Value * a))
    static member (*) (x : Diff, y : Diff) = 
        Diff(x.d * y.d, lazy ((x.df.Value * y) + (y.df.Value * x)))
    override x.ToString() =
        x.d.ToString()
end

let rec dZero = Diff(0.0, lazy dZero)

let dConst x = Diff(x, lazy dZero)

let dId x = Diff(x, lazy dConst 1.0)

let Differentiate (x:Diff) = x.df.Value

// Example function
let f (x:Diff) = x*x*x;

// Example usage:
// (f (dId 5)).ToString = "125"
// (Differentiate (f (dId 5))).ToString = "75"
// (Differentiate (Differentate (f (dId 5)))).ToString = "30"

不幸的是，我需要将类型 Diff 提供给 Price(..) 函数以生成类型 Diff，然后将其提供给我的 Differente(..) 函数以返回另一个类型 Diff 。

然而，我的 C# 函数仅适用于双精度（我希望它保持这种方式，因为它在我的 C# 程序的其他地方使用）。

我能想到解决这个问题的唯一方法是将每个函数编写两次，这显然很糟糕：

1）我最好每次都编写一个不同的版本 2）这不是一个可扩展的模型

那么有什么方法可以解决这个问题，或者将我的双函数强制转换为 Diff 函数（最好在 F# 中）。理想情况下，我只想扔一个 (double -> double) 函数并获取 Diff.ToString() 。

抱歉，如果这完全模糊或无法理解。如果不清楚，我会在评论中回答任何问题。

我希望有一个解决方案！预先感谢，

阿什利

Answer 1

你可以重新发明 Haskell 类型类：

interface Eq<T>
{
    bool Equal(T a, T b);
    bool NotEqual(T a, T b);
}

interface Num<T> : Eq<T>
{
    T Zero { get; }
    T Add(T a, T b);
    T Subtract(T a, T b);
    T Multiply(T a, T b);
    T Negate(T a);
}

sealed class Int : Num<int>
{
    public static readonly Int Instance = new Int();
    private Int() { }
    public bool Equal(int a, int b) { return a == b; }
    public bool NotEqual(int a, int b) { return a != b; }
    public int Zero { get { return 0; } }
    public int Add(int a, int b) { return a + b; }
    public int Subtract(int a, int b) { return a - b; }
    public int Multiply(int a, int b) { return a * b; }
    public int Negate(int a) { return -a; }
}

然后你可以这样做：

static T F<M, T>(M m, T x) where M : Num<T>
{
    return m.Multiply(x, m.Multiply(x, x));
}

static void Main(string[] args)
{
    Console.WriteLine(F(Int.Instance, 5));  // prints "125"
}

然后用：

class Diff
{
    public readonly double d;
    public readonly Lazy<Diff> df;

    public Diff(double d, Lazy<Diff> df)
    {
        this.d = d;
        this.df = df;
    }
}

class DiffClass : Floating<Diff>
{
    public static readonly DiffClass Instance = new DiffClass();
    private static readonly Diff zero = new Diff(0.0, new Lazy<Diff>(() => DiffClass.zero));
    private DiffClass() { }
    public Diff Zero { get { return zero; } }
    public Diff Add(Diff a, Diff b) { return new Diff(a.d + b.d, new Lazy<Diff>(() => Add(a.df.Value, b.df.Value))); }
    public Diff Subtract(Diff a, Diff b) { return new Diff(a.d - b.d, new Lazy<Diff>(() => Subtract(a.df.Value, b.df.Value))); }
    public Diff Multiply(Diff a, Diff b) { return new Diff(a.d * b.d, new Lazy<Diff>(() => Add(Multiply(a.df.Value, b), Multiply(b.df.Value, a)))); }
    ...
}

你可以这样做：

static T Price<M, T>(M m, T _maturity, T _frequency, T _coupon, T _nominal, T yield) where M : Floating<T>
{
    T price;

    price = m.Zero;

    for (T index = m.Succ(m.Zero); m.Compare(index, m.Multiply(_maturity, _frequency)) <= 0; index = m.Succ(index))
    {
        price = m.Add(price, m.Divide(m.Multiply(m.Divide(_coupon, _frequency), _nominal), m.Power(m.Add(m.Succ(m.Zero), m.Divide(yield, _frequency)), index)));
    }

    price = m.Add(price, m.Divide(_nominal, m.Power(m.Add(m.Succ(m.Zero), m.Divide(yield, _frequency)), m.Multiply(_maturity, _frequency))));

    return price;
}

但这并不是很漂亮。

事实上，它读起来几乎就像创建 LINQ 表达式树的代码。也许你可以使用源代码表达式树变换而不是运算符重载来实现自动微分？

Answer 2

无法使用现有的 C# 函数，也没有任何简单的方法将其提升为可以对 Diff 类型的成员进行操作的函数。一旦函数被编译，它是不透明的并且内部结构不可用；您所能做的就是使用双参数调用该函数并获得双结果。此外，您的 Price 方法使用了您甚至还没有在 Diff 类上定义的操作（(\) 和 Pow< /代码>）。

我不确定它是否适合您的目的，但一种可能的替代方案是在 F# 中编写 Price 函数的通用内联版本，然后可以对双精度数或 进行操作>Diff（假设您添加了 (\) 和 Pow 运算符）。

Answer 3

如果您只需要简单的自动微分，那么前面的“重新实现类型类”答案就完全是矫枉过正了。使用运算符重载并将导数具体化为数组，如我在此项目中所示。您需要的核心类型只是：

public readonly struct Number
{
    public readonly double Magnitude;
    public readonly double[] Derivatives;

    internal Number(double m, params double[] d)
    {
        this.Magnitude = m;
        this.Derivatives = d;
    }
}

然后实现维基百科上显示的运算符翻译，所以Number 上的每个运算符也对 Derivatives 数组进行操作。

您需要将函数定义为对此 Number 类型进行操作，但通过在 Number 上定义全套算术运算符，这通常只是更改参数类型，并更改对静态 Math.X 函数的任何调用都会调用相应的 Number.X 函数，即。 Math.Sin(x) -> x.Sin()。

空/空数组主要对原始双精度数进行操作，因此它可能非常接近原始代码的速度。